東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 水面の高さを $h(t)$ とする。空の容器へ入れ始めるので $h(0)=0$ であり$${\displaystyle \frac{dh}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t}}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(t)}& {\displaystyle ={\int }_0^t{\displaystyle \frac{du}{\sqrt{1+u}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{1+t}-2.}\end{array}$$$h(t)=18$ とおくと$$2\sqrt{1+t}-2=18$$より $$\sqrt{1+t}=10$$ だから$$t=99.$$(2) 高さを $y$ とすると$$y=2\sqrt{1+t}-2$$より$$\begin{array}{cccc}& t={(1+{\displaystyle \frac{y}{2}})}^2-1=y+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$高さ $y$ までに入った水の体積は$$\begin{array}{cccc}& at=a(y+{\displaystyle \frac{y^2}{4}})\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$一方、容器の高さ $y$ での半径は $f(y)$ だから、同じ体積は$$\begin{array}{cccc}& \pi {\int }_0^{y}f(u{)}^{2}du\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(2)と(3)を $y$ で微分すると$$\pi f(y{)}^2=a(1+{\displaystyle \frac{y}{2}})\mathrm{.}$$$f(y)>0$ より$$f(y)=\sqrt{{\displaystyle \frac{a(y+2)}{2\pi }}}(0\leqq y\leqq 30)\mathrm{.}$$

微小時間に増える体積は「水面の断面積×上昇距離」である。したがって $a=\pi f(h{)}^{2}dh\mathrm{/}dt$ と書ける。高さと時間の関係だけを積分で求め、流量の式へ代入して $f$ を直接出す。

(1) $$h(t)={\int }_0^t(1+u{)}^{-1\mathrm{/}2}du=2\sqrt{1+t}-2.$$したがって $h=18$ となるのは$$\sqrt{1+t}=10$$を満たす$$t=99$$秒後である。

(2) 時刻 $t$ の水面の断面積は $\pi f(h(t){)}^2$ である。単位時間当たりの体積増加が $a$ だから$$a=\pi f(h(t){)}^2{\displaystyle \frac{dh}{dt}}\mathrm{.}$$与えられた速度を代入すると$$\begin{array}{cccc}& f(h(t){)}^2={\displaystyle \frac{a\sqrt{1+t}}{\pi }}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方$$h=2\sqrt{1+t}-2$$より$$\sqrt{1+t}=1+{\displaystyle \frac{h}{2}}\mathrm{.}$$これを (1) に代入して$$f(h{)}^2={\displaystyle \frac{a(h+2)}{2\pi }}\mathrm{.}$$変数名を $y$ に戻し、正の平方根を取れば$$f(y)=\sqrt{{\displaystyle \frac{a(y+2)}{2\pi }}}(0\leqq y\leqq 30)\mathrm{.}$$