東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4e^{2x}-a{e}^x+b\mathrm{.}$$$t=e^x>0$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4t^2-at+b=4{(t-{\displaystyle \frac{a}{8}})}^2+b-{\displaystyle \frac{a^2}{16}}\mathrm{.}$$$a\geqq 1$ だから頂点 $t=a\mathrm{/}8$ は $t>0$ の範囲内にある。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ がすべての $x$ で成り立つための必要十分条件は$$b\geqq {\displaystyle \frac{a^2}{16}}\mathrm{.}$$もとの条件と合わせると$$a\geqq 1,a\mathrm{\ne }2,b\geqq {\displaystyle \frac{a^2}{16}}$$である。

(2) $y=f(x)$ と $y=bx$ の交点は$$2e^{2x}-a{e}^x=e^x(2e^x-a)=0$$より$$x=\log {\displaystyle \frac{a}{2}}\mathrm{.}$$もう1本の境界は $x=0$ である。$a>2$ でも $1\leqq a<2$ でも、2曲線間の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\mid {\int }_0^{\log (a\mathrm{/}2)}(2e^{2x}-a{e}^x)dx\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid {[e^{2x}-a{e}^x]}_0^{\log (a\mathrm{/}2)}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) 第(1)問の条件は$$\begin{array}{cccc}& 1\leqq a\leqq 4\sqrt{b},a\mathrm{\ne }2.& & \text{(1)}\end{array}$$したがって許される $a$ が存在するのは $b\geqq 1\mathrm{/}16$ のときである。$S(a)=(a-2{)}^2\mathrm{/}4$ は上に凸なので、区間 (1) での最大値は端点 $a=1$ と $$a=4\sqrt{b}$$ の値の大きい方である。$a=2$ の除外は最大値を変えない。$$S(1)={\displaystyle \frac{1}{4}},S(4\sqrt{b})=(2\sqrt{b}-1{)}^2\mathrm{.}$$$b\geqq 1\mathrm{/}16$ の範囲で両者を比較すると$$(2\sqrt{b}-1{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}⟺{\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{9}{16}}\mathrm{.}$$よって$$M(b)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}& ({\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{9}{16}}),\\ (2\sqrt{b}-1{)}^2& (b>{\displaystyle \frac{9}{16}})\mathrm{.}\end{array}$$$0<b<1\mathrm{/}16$ では第(1)問の条件を満たす $a$ が存在しない。

単調性は導関数を $e^x$ について平方完成する。面積は $t=e^x$ と変数変換すると指数関数の積分が1次式の積分になり、$S=(a-2{)}^2\mathrm{/}4$ がすぐ得られる。最後は頂点から遠い端点を選ぶ幾何として最大値を判定する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4{(e^x-{\displaystyle \frac{a}{8}})}^2+b-{\displaystyle \frac{a^2}{16}}\mathrm{.}$$$e^x$ は正の実数全体を動き、$a\mathrm{/}8>0$ なので、導関数の最小値は $b-a^2\mathrm{/}16$ である。よって単調増加の条件は$$b\geqq {\displaystyle \frac{a^2}{16}}\mathrm{.}$$(2) $t=e^x$ とおくと $dx=dt\mathrm{/}t$ である。曲線間の差は $t(2t-a)$ だから、交点に対応する $t$ の値は $1$ と $a\mathrm{/}2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\mid {\int }_1^{a\mathrm{/}2}t(2t-a){\displaystyle \frac{dt}{t}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid {\int }_1^{a\mathrm{/}2}(2t-a)dt\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid {[t^2-at]}_1^{a\mathrm{/}2}\mid ={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) 条件は $$1\leqq a\leqq 4\sqrt{b}$$ である。$S$ は $a=2$ からの距離の2乗の4分の1なので、区間の両端のうち2から遠い方で最大になる。$$\mathrm{\mid }1-2\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }4\sqrt{b}-2\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }2\sqrt{b}-1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これらが等しくなるのは、許される範囲では $b=1\mathrm{/}16,9\mathrm{/}16$ である。以上から$$M(b)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}& ({\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{9}{16}}),\\ (2\sqrt{b}-1{)}^2& (b>{\displaystyle \frac{9}{16}})\end{array}$$を得る。