東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$u=x+y,v=x-y$ とおく。このとき $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=uv$ である。したがって双曲線 $C:x^2-y^2=1$ は $uv=1$ と表される。

行列 $A(t)$ の働きを $u,v$ で見る。まず$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\\ u\end{array}\right)$$であり、また$$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ -v\end{array}\right)$$である。したがって、移った点の新しい $u,v$ を $u^{\mathrm{\prime }},v^{\mathrm{\prime }}$ とすると $$u^{\mathrm{\prime }}=2f(t)u,v^{\mathrm{\prime }}=2g(t)v$$ である。

ここで $$F(t)=2f(t),G(t)=2g(t)$$ とおく。条件 $A(s+t)=A(s)A(t)$ は、$u$ と $v$ の倍率について $$F(s+t)=F(s)F(t),G(s+t)=G(s)G(t)$$ を意味する。

また、$A(t)$ が双曲線 $uv=1$ 上の任意の点を再び $uv=1$ 上に移すためには $u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}=uv$ でなければならない。$uv=1$ であるから $F(t)G(t)=1$ である。したがって $F(t),G(t)$ は0にならない。

特に $F(0)=F(0{)}^2$ で、$F(0)\mathrm{\ne }0$ だから $F(0)=1$ である。$F$ は微分可能なので、等式 $F(s+t)=F(s)F(t)$ を $s$ で微分し、$s=0$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(t)=F^{\mathrm{\prime }}(0)F(t)$ である。$c=F^{\mathrm{\prime }}(0)$ とおけば $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=cF(t),F(0)=1$$ であるから $F(t)=e^{ct}$ である。

さらに $F(t)G(t)=1$ より $G(t)=e^{-ct}$ である。したがって $$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{ct},g(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-ct}$$ である。ただし $c$ は任意の実数である。

方向 $(1,1)$、$(1,-1)$ がそれぞれ何倍になるかを直接調べる。双曲線を保つ条件から2倍率の積が1と分かる。正の倍率の対数をとり、加法を満たす微分可能関数が1次関数であることから指数関数形を得る。

$$e_{+}=(1,1),e_{-}=(1,-1)$$とする。与えられた行列をこれらへ作用させると$$A(t)e_{+}=2f(t)e_{+},A(t)e_{-}=2g(t)e_{-}\mathrm{.}$$そこで$$F(t)=2f(t),G(t)=2g(t)$$とおく。条件 (i) から$$F(s+t)=F(s)F(t),G(s+t)=G(s)G(t)\mathrm{.}$$任意の点を$$(x,y)={\displaystyle \frac{x+y}{2}}{e}_{+}+{\displaystyle \frac{x-y}{2}}{e}_{-}$$と表すと、変換後には $x+y$ が $F(t)$ 倍、$x-y$ が $G(t)$ 倍になる。
双曲線は$$(x+y)(x-y)=1$$であるから、条件 (ii) は$$F(t)G(t)=1$$を与える。特に $F(t)\mathrm{\ne }0$ であり、積の法則と連続性から $F(t)>0$ である。

$H(t)=\log F(t)$ とおくと$$H(s+t)=H(s)+H(t)\mathrm{.}$$$H$ は微分可能なので、$s$ で微分して$$H^{\mathrm{\prime }}(s+t)=H^{\mathrm{\prime }}(s)\mathrm{.}$$$s=0$ とすれば $H^{\mathrm{\prime }}(t)=H^{\mathrm{\prime }}(0)=c$ となる。$H(0)=0$ より$$H(t)=ct,F(t)=e^{ct}\mathrm{.}$$また $G(t)=1\mathrm{/}F(t)=e^{-ct}$ である。したがって$$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{ct},g(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-ct}$$であり、$c$ は任意の実数である。