東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
定義より$$A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-1& 1\\ -1& x+1\end{array}\right),A(y)=\left(\begin{array}{cc}y-1& 1\\ -1& y+1\end{array}\right)$$である。これらを掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(x)A(y)}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}(x-1)(y-1)-1& (x-1)+(y+1)\\ -(y-1)-(x+1)& -1+(x+1)(y+1)\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}xy-x-y& x+y\\ -(x+y)& xy+x+y\end{array}\right)}\end{array}$$である。

一方$$A(xy)=\left(\begin{array}{cc}xy-1& 1\\ -1& xy+1\end{array}\right),A(0)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$であるから$$A(xy)+(x+y-1)A(0)=\left(\begin{array}{cc}xy-x-y& x+y\\ -(x+y)& xy+x+y\end{array}\right)$$である。よって $$A(x)A(y)=A(xy)+(x+y-1)A(0)$$ が成り立つ。

(2)
まず $n=2$ のとき、(1)で $y=x$ とおくと $$A(x{)}^2=A(x^2)+(2x-1)A(0)$$ であり、これは求める式 $$A(x{)}^2=A(x^2)+(2x^1-1)A(0)$$ そのものである。

次に、ある $n\geqq 2$ で $$A(x{)}^n=A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)A(0)$$ が成り立つと仮定する。このとき $A(x{)}^{n+1}=A(x)A(x{)}^n$ であるから $$A(x{)}^{n+1}=A(x)A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)A(x)A(0)$$ である。

ここで(1)より $$A(x)A(x^n)=A(x^{n+1})+(x+x^n-1)A(0)$$ である。また直接計算すると $A(x)A(0)=xA(0)$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(x{)}^{n+1}}& {\displaystyle =A(x^{n+1})+(x+x^n-1)A(0)+x(n{x}^{n-1}-1)A(0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A(x^{n+1})+\{x+x^n-1+n{x}^n-x\}A(0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A(x^{n+1})+\{(n+1)x^n-1\}A(0)}\end{array}$$である。よって $n+1$ でも成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての整数 $n\geqq 2$ で $$A(x{)}^n=A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)A(0)$$ が成り立つ。

$N=A(0)$ とおくと $N^2=0$、$A(x)=xE+N$ である。積では $N$ を2個以上含む項が消えるため、(1)も(2)も一度に計算できる。

$$N=A(0)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$とおく。直接掛けると$$N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$であり、また$$A(x)=xE+N$$である。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(x)A(y)}& {\displaystyle =(xE+N)(yE+N)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =xyE+(x+y)N}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A(xy)+(x+y-1)A(0)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$(xE+N{)}^n$ を展開すると、$N^2=0$ のため $N$ を2個以上含む項は
すべて0である。$N$ を1個だけ含む項は $n$ 個あるので$$A(x{)}^n=x^{n}E+n{x}^{n-1}N\mathrm{.}$$一方$$A(x^n)=x^{n}E+N$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(x{)}^n}& {\displaystyle =A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)N}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)A(0)\mathrm{.}}\end{array}$$これで $n\geqq 2$ に対する式が示された。