東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $P^3=E$ であるから、$P$ に対応する1次変換 $f$ は、$f$ を3回行うと元に戻る。したがって、もし $f(U)=f(V)$ なら、両辺にさらに $f$ を2回行って $U=V$ となる。つまり異なる点が同じ点へ移ることはない。

点 $A,B,C$ は相異なるので、$f(A),f(B),f(C)$ も相異なる。よって $f(A),f(B),f(C)\text{ は相異なる}$ である。

(2)
(1)より、$f(A),f(B),f(C)$ は $A,B,C$ の並べ替えである。

もし、たとえば $f(A)=A$ であるとする。このとき残りの $B,C$ は、どちらも動かないか、互いに入れ替わるかのどちらかである。もし $B,C$ も動かないなら、$A(1,0)$ と $B(0,2)$ は動かない。$A,B$ は平面の基準になる2方向を与えているので、この場合は $P=E$ となり、条件 $P\mathrm{\ne }E$ に反する。

一方、$B,C$ が入れ替わるなら $f(B)=C,f(C)=B$ である。このとき $f^3(B)=f(B)=C$ となるが、$P^3=E$ だから $f^3(B)=B$ でなければならない。これは $B\mathrm{\ne }C$ に反する。

したがって $f(A)=A$ は不可能である。同じ議論は $B,C$ についても成り立つ。よって $$f(A)\mathrm{\ne }A,f(B)\mathrm{\ne }B,f(C)\mathrm{\ne }C$$ である。

(3)
(1)(2)より、3点は巡回する。可能性は $A\to B\to C\to A$ または $A\to C\to B\to A$ の2通りである。

まず $A\to B\to C\to A$ の場合を考える。行列を$$P=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ t& u\end{array}\right)$$とする。$A=(1,0)$ が $B=(0,2)$ に移るので、第1列は$$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$$である。また $B=(0,2)$ が $C=(a,b)$ に移るので、第2列は$$\left(\begin{array}{c}a\mathrm{/}2\\ b\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。したがって$$P=\left(\begin{array}{cc}0& a\mathrm{/}2\\ 2& b\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。さらに $C$ が $A$ に移るので$$P\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$である。すなわち $${\displaystyle \frac{ab}{2}}=1,2a+{\displaystyle \frac{b^2}{2}}=0$$ である。これより $ab=2,4a+b^2=0$ である。$a=2\mathrm{/}b$ を代入して ${\displaystyle \frac{8}{b}}+b^2=0$ だから $b^3=-8$ である。よって $b=-2,a=-1$ である。このとき$$P=\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 2& -1\end{array}\right)$$である。

次に $A\to C\to B\to A$ の場合を考える。$A$ が $C$ に移るので第1列は $(a,b)$、$B$ が $A$ に移るので第2列は $(1\mathrm{/}2,0)$ である。したがって$$P=\left(\begin{array}{cc}a& 1\mathrm{/}2\\ b& 0\end{array}\right)$$である。さらに $C$ が $B$ に移るので$$P\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$$である。すなわち $$a^2+{\displaystyle \frac{b}{2}}=0,ab=2$$ である。$b=2\mathrm{/}a$ を代入すると $a^2+{\displaystyle \frac{1}{a}}=0$ であり $a^3=-1$ だから $a=-1,b=-2$ である。このとき$$P=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\mathrm{/}2\\ -2& 0\end{array}\right)$$である。

以上より$$(a,b)=(-1,-2),P=\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 2& -1\end{array}\right)$$または$$(a,b)=(-1,-2),P=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\mathrm{/}2\\ -2& 0\end{array}\right)$$である。

$P^3=E$ から変換が1対1であり、3点の行き先は置換になる。固定点や2点交換を排除して3点巡回に絞る。$C$ を $A,B$ の一次結合で表し、巡回条件を係数比較して $C$ を決める。

(1)
$f(U)=f(V)$ なら、両辺へさらに $f$ を2回行うことで$$U=f^3(U)=f^3(V)=V$$となる。よって $f$ は1対1であり、$f(A),f(B),f(C)$ は相異なる。

(2)
3点の行き先は $A,B,C$ の置換である。1点が固定されると、残り2点は
ともに固定されるか交換される。前者では独立な $A,B$ がともに固定されて
$P=E$、後者では $f^3$ がその2点を交換したままになり、いずれも条件に反する。
したがって3点はいずれも固定されない。

(3)
ゆえに3点は巡回する。まず$$A⟼B⟼C⟼A$$とする。$$C=\alpha A+\beta B$$と書けば、線形性から$$A=f(C)=\alpha B+\beta C=\alpha \beta A+(\alpha +{\beta }^2)B\mathrm{.}$$よって$$\alpha \beta =1,\alpha +{\beta }^2=0,$$したがって $\alpha =\beta =-1$ である。よって$$C=-A-B=(-1,-2)\mathrm{.}$$この巡回を表す行列は、$A\mapsto B,B\mapsto C$ から$$P=\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 2& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$逆向きの巡回$$A⟼C⟼B⟼A$$でも同様に $C=-A-B=(-1,-2)$ となり、$$P=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\mathrm{/}2\\ -2& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $(a,b)=(-1,-2)$ で、$P$ は上の2通りである。