東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
第1象限の交点を $(x,y)$ とする。2つの楕円の方程式を引くと$$({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{b^2}})x^2+({\displaystyle \frac{1}{b^2}}-{\displaystyle \frac{1}{a^2}})y^2=0$$である。$a>b>0$ なので係数は0ではなく、整理して $x^2=y^2$ を得る。第1象限だから $x=y$ である。

問題では交点の $x$ 座標を $x=b\cos \gamma$ としている。$C_2$ 上では $y=a\sin \gamma$ と表せるので、交点では $b\cos \gamma =a\sin \gamma$ である。さらに $${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1$$ を用いると$$\cos \gamma ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}},\sin \gamma ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$である。したがって$$\cos \gamma ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}},\sin \gamma ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$である。

(2)
第1象限での共通部分の面積を求める。交点の $x$ 座標は $$x_0=b\cos \gamma =a\sin \gamma$$ である。$0\leqq x\leqq x_0$ では $C_1$ の方が下側にあり、$x_0\leqq x\leqq b$ では $C_2$ の方が下側にある。よって第1象限の共通部分の面積を $S_1$ とすると$$S_1={\int }_0^{x_0}b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}dx+{\int }_{x_0}^{b}a\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}}dx$$である。

第1の積分では $x=a\sin \theta$ とおく。$x=0$ で $\theta =0$、$x=x_0=a\sin \gamma$ で $\theta =\gamma$ であるから$${\int }_0^{x_0}b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}dx=ab{\int }_0^{\gamma }{\cos }^2\theta d\theta$$である。

第2の積分では $x=b\cos \theta$ とおく。$x=x_0=b\cos \gamma$ で $\theta =\gamma$、$x=b$ で $\theta =0$ であるから$${\int }_{x_0}^{b}a\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}}dx=ab{\int }_0^{\gamma }{\sin }^2\theta d\theta$$である。したがって $$S_1=ab{\int }_0^{\gamma }({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )d\theta =ab\gamma$$ である。

図形は4つの象限に対して対称なので、求める面積は $4ab\gamma$ である。

第1象限の交点が $x=y$ 上にあることを先に示す。共通部分の第1象限を2つの楕円弓形に分け、それぞれを楕円扇形と三角形で表すと、三角形部分が相殺して面積が $ab\gamma$ になる。

(1)
2つの楕円の式を引くと$$({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{b^2}})(x^2-y^2)=0.$$$a\mathrm{\ne }b$ で、第1象限の交点だから $x=y$ である。
$C_2$ を$$x=b\cos \theta ,y=a\sin \theta$$と表すと、交点では$$b\cos \gamma =a\sin \gamma \mathrm{.}$$よって$$\cos \gamma ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}},\sin \gamma ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\mathrm{.}$$(2)
第1象限の共通部分を交点で左右に分ける。左側の $C_1$ の部分は、
角 $\gamma$ に対応する楕円扇形と三角形の和で、面積は$${\displaystyle \frac{ab}{2}}\gamma +{\displaystyle \frac{ab}{2}}\sin \gamma \cos \gamma \mathrm{.}$$右側の $C_2$ の部分は、同じ角の楕円扇形から同じ三角形を引いたもので、$${\displaystyle \frac{ab}{2}}\gamma -{\displaystyle \frac{ab}{2}}\sin \gamma \cos \gamma \mathrm{.}$$したがって第1象限の共通部分は$$ab\gamma \mathrm{.}$$4象限の対称性から、求める面積は$$4ab\gamma \mathrm{.}$$