東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
接点を $(a\cos \varphi ,b\sin \varphi )$ とおく。ただし第1象限の点なので $$0<\varphi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ のこの点における接線は $${\displaystyle \frac{x\cos \varphi }{a}}+{\displaystyle \frac{y\sin \varphi }{b}}=1$$ である。

この接線の $x$ 切片は ${\displaystyle \frac{a}{\cos \varphi }}$ であり、$y$ 切片は ${\displaystyle \frac{b}{\sin \varphi }}$ である。したがって、接線と座標軸でできる三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{\cos \varphi }}\cdot {\displaystyle \frac{b}{\sin \varphi }}={\displaystyle \frac{ab}{2\sin \varphi \cos \varphi }}$$である。

一方、第1象限にある楕円の部分の面積は、楕円全体の4分の1だから ${\displaystyle \frac{\pi ab}{4}}$ である。よって図形 $A$ の面積は $$S(\varphi )={\displaystyle \frac{ab}{2\sin \varphi \cos \varphi }}-{\displaystyle \frac{\pi ab}{4}}$$ である。

これを最小にするには、$\sin \varphi \cos \varphi$ を最大にすればよい。ここで $$\sin \varphi \cos \varphi \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、等号は $$\varphi ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ のときに成り立つ。したがって求める接線は $${\displaystyle \frac{x}{a\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{y}{b\sqrt{2}}}=1$$ すなわち $${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=\sqrt{2}$$ である。

(2)
(1)の直線は、$x$ 切片 $a\sqrt{2}$、$y$ 切片 $b\sqrt{2}$ をもつ。この直線と座標軸でできる三角形を $x$ 軸のまわりに回転すると、高さ $a\sqrt{2}$、底面半径 $b\sqrt{2}$ の円錐ができる。その体積は $${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (b\sqrt{2}{)}^2(a\sqrt{2})={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\pi a{b}^2$$ である。

また、第1象限の楕円部分を $x$ 軸のまわりに回転すると、半分の楕円体ができる。楕円体全体の体積は、半径方向の長さが $a,b,b$ であるから ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi a{b}^2$ であり、その半分は ${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2$ である。

したがって、求める体積は$${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\pi a{b}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2={\displaystyle \frac{2\pi a{b}^2(\sqrt{2}-1)}{3}}$$である。

接線を切片形 $x\mathrm{/}u+y\mathrm{/}v=1$ とおく。楕円に接する条件は$a^2\mathrm{/}{u}^2+b^2\mathrm{/}{v}^2=1$ である。座標軸と接線の三角形の面積 $uv\mathrm{/}2$ を相加相乗平均で最小化する。

(1)
第1象限で楕円に接する直線を$${\displaystyle \frac{x}{u}}+{\displaystyle \frac{y}{v}}=1(u>0,v>0)$$とおく。この直線が楕円に接する条件は$${\displaystyle \frac{a^2}{u^2}}+{\displaystyle \frac{b^2}{v^2}}=1$$である。$$X={\displaystyle \frac{a}{u}},Y={\displaystyle \frac{b}{v}}$$とおけば $X^2+Y^2=1$ であり、$$uv={\displaystyle \frac{ab}{XY}}\mathrm{.}$$$$2XY\leqq X^2+Y^2=1$$より $uv\geqq 2ab$ で、等号は $X=Y=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のときに成り立つ。
図形 $A$ の面積は、この接線と座標軸でできる三角形から一定の
楕円の第1象限部分を引いたものなので、同じときに最小となる。よって$$u=a\sqrt{2},v=b\sqrt{2},$$したがって$${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2)
接線と座標軸の三角形を回転すると、高さ $a\sqrt{2}$、底面半径
$b\sqrt{2}$ の円錐になる。その体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (b\sqrt{2}{)}^2(a\sqrt{2})={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\pi a{b}^2\mathrm{.}$$楕円の第1象限部分を回転したものは、半径 $a,b,b$ の楕円体の半分で、
体積は$${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2\mathrm{.}$$したがって求める体積は$${\displaystyle \frac{2\pi a{b}^2(\sqrt{2}-1)}{3}}\mathrm{.}$$