東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ は周期 $\pi$ の関数である。また1周期分の面積は $${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$$ である。 $m$ は $na\mathrm{/}\pi$ を越えない最大の整数なので $$m\leqq {\displaystyle \frac{na}{\pi }}<m+1$$ である。したがって $m\pi \leqq na<(m+1)\pi$ である。

区間 $[0,m\pi ]$ には $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ の完全な周期が $m$ 個入るので $${\int }_0^{m\pi }\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx=2m$$ である。また残りの区間 $[m\pi ,na]$ は長さが $\pi$ 未満であり、その上での面積は0以上、1周期分の面積2未満である。よって $$0\leqq {\int }_{m\pi }^{na}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx<2$$ である。

したがって $$2m\leqq {\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx<2m+2=2(m+1)$$ である。よって $$2m\leqq {\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx<2(m+1)$$ が示された。

(2) $u=nx$ とおくと $du=ndx$ であるから $${\int }_0^a\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{1}{n}}{\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin u\mathrm{\mid }du$$ である。

(1) より $${\displaystyle \frac{2m}{n}}\leqq {\int }_0^a\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx<{\displaystyle \frac{2(m+1)}{n}}$$ である。また $$m\leqq {\displaystyle \frac{na}{\pi }}<m+1$$ を $n$ で割ると $${\displaystyle \frac{m}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{a}{\pi }}<{\displaystyle \frac{m+1}{n}}$$ である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{a}{\pi }},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{m+1}{n}}={\displaystyle \frac{a}{\pi }}$$である。

よってはさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^a\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{2a}{\pi }}$$ である。したがって ${\displaystyle \frac{2a}{\pi }}$ を得る。

$na=m\pi +r(0\leqq r<\pi )$ とおく。完全な周期部分の面積は $2m$、余りは $1-\cos r$ と正確に書ける。この式を変数変換後の積分へ代入して極限を取る。

(1) $$na=m\pi +r(0\leqq r<\pi )$$と書く。$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ は周期 $\pi$ で、1周期の面積は2である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle =2m+{\int }_0^r\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2m+1-\cos r\mathrm{.}}\end{array}$$$$0\leqq 1-\cos r<2$$だから$$2m\leqq {\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }dx<2(m+1)\mathrm{.}$$(2)
$u=nx$ とおくと$${\int }_0^a\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{1}{n}}{\int }_0^{na}\mathrm{\mid }\sin u\mathrm{\mid }du={\displaystyle \frac{2m+1-\cos r}{n}}\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{na}{\pi }}=m+{\displaystyle \frac{r}{\pi }}$$より$${\displaystyle \frac{m}{n}}⟶{\displaystyle \frac{a}{\pi }}\mathrm{.}$$さらに$$0\leqq {\displaystyle \frac{1-\cos r}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{n}}⟶0.$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^a\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{2a}{\pi }}\mathrm{.}$$