東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $u=x-\alpha$ とおく。このとき $$x-\beta =u-(\beta -\alpha )$$ であり、$x=\alpha$ のとき $u=0$、$x=\beta$ のとき $u=\beta -\alpha$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta -\alpha }u\{u-(\beta -\alpha )\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}{u}^2]}_0^{\beta -\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{6}}(\beta -\alpha {)}^3}\end{array}$$である。

(2)
交点を求める。$C_1$ と $C_2$ の交点では $x^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2$ である。したがって $2x^2=x^2+2x+1$ より $x^2-2x-1=0$ である。よって $$\alpha =1-\sqrt{2},\beta =1+\sqrt{2}$$ である。

区間 $[\alpha ,\beta ]$ では $C_2$ が $C_1$ より上にある。実際、差は $${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-x^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積を $S$ とすると、(1)より$$S=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{12}}$$である。ここで $\beta -\alpha =2\sqrt{2}$ だから $$S={\displaystyle \frac{(2\sqrt{2}{)}^3}{12}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}$$ である。

次に、$C_2$ の $x=t$ における接線を求める。$C_2$ は $y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2$ であり、傾きは $x+1$ であるから、点 $R(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}(t+1{)}^2)$ での接線は $$y=(t+1)(x-t)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(t+1{)}^2$$ である。整理して $$y=(t+1)x+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}$$ である。

この接線と $C_1:y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $$x^2=(t+1)x+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}$$ を満たす。すなわち $$x^2-(t+1)x+{\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}=0$$ である。この2根を $r,s$ とし、$r<s$ とする。判別式を $D$ とおくと $$D=(t+1{)}^2-2(t^2-1)=-t^2+2t+3$$ であり、根の間隔は $$s-r=\sqrt{D}$$ である。

接線と $C_1$ で囲まれる部分の面積は $${\int }_r^s\{(t+1)x+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}-x^2\}dx$$ である。これは $$-{\int }_r^s(x-r)(x-s)dx$$ に等しいので、(1)より $${\displaystyle \frac{1}{6}}(s-r{)}^3={\displaystyle \frac{1}{6}}{D}^{3\mathrm{/}2}$$ である。

条件より $${\displaystyle \frac{1}{6}}{D}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。したがって $D^{3\mathrm{/}2}=8$ であり、$D>0$ だから $D=4$ である。よって $-t^2+2t+3=4$ すなわち $(t-1{)}^2=0$ である。したがって $t=1$ である。これは $1-\sqrt{2}<t<1+\sqrt{2}$ を満たす。

積分区間の中点と半幅を用いて被積分関数を偶関数にする。放物線どうし、放物線と接線の差はいずれも根を2つもつ2次式なので、囲まれる面積は根の間隔だけで決まる。2つの弓形の根間隔を比較する。

(1) $$c={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},d={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}$$とおき、$x=c+u$ と変数を移す。このとき$$(x-\alpha )(x-\beta )=(u+d)(u-d)=u^2-d^2$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle ={\int }_{-d}^d(u^2-d^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-d^{2}u]}_0^d}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{4d^3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
2つの放物線の交点の $x$ 座標は$$\alpha =1-\sqrt{2},\beta =1+\sqrt{2}$$であり、その間隔は $2\sqrt{2}$ である。差は$$C_2-C_1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-\alpha )(x-\beta )$$だから、囲まれる面積は$$S={\displaystyle \frac{(2\sqrt{2}{)}^3}{12}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$$C_2$ の $x=t$ における接線と $C_1$ との交点を $r<s$ とする。
両者の差は最高次係数が $-1$ の2次式なので$$\text{面積}={\displaystyle \frac{(s-r{)}^3}{6}}\mathrm{.}$$交点を与える2次方程式の判別式は$$D=-t^2+2t+3$$であり、$$s-r=\sqrt{D}$$ である。条件から$${\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$よって $D=4$ であり、$$-t^2+2t+3=4.$$したがって$$(t-1{)}^2=0,t=1.$$これは $\alpha <t<\beta$ を満たす。