東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
3点 $P(0),P(a),P(b)$ を通る平面 $\alpha$ は原点 $P(0)=(0,0,0)$ を通るので $Ax+By+Cz=0$ と書ける。$C\mathrm{\ne }0$ として $C=1$ とおくと $Ax+By+z=0$ である。

点 $P(a)=(a,a^2,a^3)$ を代入すると $Aa+B{a}^2+a^3=0$ すなわち $A+Ba+a^2=0$ である。同様に $P(b)$ を代入して $A+Bb+b^2=0$ を得る。2式を引くと $B(a-b)+a^2-b^2=0$ であり、$a\mathrm{\ne }b$ より $B=-(a+b)$ である。これを戻すと $A=ab$ である。したがって $abx-(a+b)y+z=0$ である。

(2)
平面 $\pi (r)$ は点 $P(r)=(r,r^2,r^3)$ を通り、方向ベクトル $(1,2r,3r^2),(0,2,6r)$ を含む。この2つの方向に垂直なベクトルとして $(3r^2,-3r,1)$ を取れる。よって $\pi (r)$ の方程式は $$3r^2(x-r)-3r(y-r^2)+(z-r^3)=0$$ である。整理して $$\pi (r):z-3ry+3r^{2}x-r^3=0$$ となる。 $r=0$ では $z=0$ である。したがって共有点 $Q$ は $z=0$ を満たす。さらに $r=a,c$ を代入して $$-3ay+3a^{2}x-a^3=0,-3cy+3c^{2}x-c^3=0$$ を得る。$a,c\mathrm{\ne }0$ なので、それぞれ $$y=ax-{\displaystyle \frac{a^2}{3}},y=cx-{\displaystyle \frac{c^2}{3}}$$ である。これらを等しくすると $$(a-c)x={\displaystyle \frac{a^2-c^2}{3}}$$ である。$a\mathrm{\ne }c$ より $$x={\displaystyle \frac{a+c}{3}}$$ である。したがって $$y=a\cdot {\displaystyle \frac{a+c}{3}}-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}={\displaystyle \frac{ac}{3}}$$ である。よって $$Q=({\displaystyle \frac{a+c}{3}},{\displaystyle \frac{ac}{3}},0)$$ である。

(3) $Q$ が $\alpha$ 上にあるためには、(1)の平面の方程式に $Q$ を代入して0になればよい。すなわち $$ab\cdot {\displaystyle \frac{a+c}{3}}-(a+b)\cdot {\displaystyle \frac{ac}{3}}+0=0$$ である。左辺を整理すると $${\displaystyle \frac{a}{3}}\{b(a+c)-c(a+b)\}={\displaystyle \frac{a}{3}}(ab-ac)={\displaystyle \frac{a^2}{3}}(b-c)$$ である。仮定より $a\mathrm{\ne }0$ だから、これは $b-c=0$ と同値である。よって必要十分条件は $b=c$ である。

平面 $\pi (r)$ の式を、与えられた点と2方向を代入して決める。共有点 $Q=(x,y,z)$ ではその左辺が $r=0,a,c$ を根にもつ3次式になる。因数分解した式との係数比較から $Q$ を一度に求める。

(1)
$P(0)=(0,0,0)$ を通る平面を $Ax+By+z=0$ とおく。
$P(a),P(b)$ を代入すると$$A+Ba+a^2=0,A+Bb+b^2=0.$$$a\mathrm{\ne }b$ より$$A=ab,B=-(a+b)\mathrm{.}$$したがって$$\alpha :abx-(a+b)y+z=0.$$(2)
$\pi (r)$ の方程式を$$Lx+My+Nz+D=0$$とする。2つの方向ベクトルを代入する条件と $P(r)$ を通る条件を解けば$$\pi (r):z-3ry+3r^{2}x-r^3=0$$を得る。

共有点を $Q=(x,y,z)$ とする。左辺を $r$ の式とみた$$\mathrm{\Phi }(r)=z-3ry+3r^{2}x-r^3$$は $r=0,a,c$ を根にもつ。最高次係数が $-1$ なので$$\mathrm{\Phi }(r)=-r(r-a)(r-c)\mathrm{.}$$係数を比較すると$$z=0,3x=a+c,3y=ac\mathrm{.}$$よって$$Q=({\displaystyle \frac{a+c}{3}},{\displaystyle \frac{ac}{3}},0)\mathrm{.}$$(3)
$Q$ を $\alpha$ の式へ代入すると$${\displaystyle \frac{a^2}{3}}(b-c)=0.$$$a\mathrm{\ne }0$ だから、必要十分条件は$$b=c$$である。