東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$y=\log (nx+1{)}^{2n}=2n\log \mathrm{\mid }nx+1\mathrm{\mid }$$ である。したがって定義域は $x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ であり、直線 $x=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ は縦の漸近線である。また $y=0$ となるのは $\mathrm{\mid }nx+1\mathrm{\mid }=1$ のときで、$x=0,x=-{\displaystyle \frac{2}{n}}$ である。さらに $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2n^2}{nx+1}}$$ なので、$x<-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ では減少し、$x>-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ では増加する。以上より、2つの枝は漸近線 $x=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ の両側で下に落ち込み、左の枝は $(-{\displaystyle \frac{2}{n}},0)$ を通って左へ上がり、右の枝は $(0,0)$ を通って右へ上がる。

(2) $p<-{\displaystyle \frac{2}{n}}$ とする。この範囲では $nx+1<-1$ であり、曲線は $x$ 軸の上にある。そこで $U=-np-1$ とおくと $U>1$ である。置換 $u=-nx-1$ を用いると、$x=p$ のとき $u=U$、$x=-{\displaystyle \frac{2}{n}}$ のとき $u=1$、また $dx=-{\displaystyle \frac{1}{n}}du$ である。したがって面積 $S$ は$$S={\int }_p^{-2\mathrm{/}n}2n\log (-nx-1)dx=2{\int }_1^U\log udu$$である。よって $$S=2{[u\log u-u]}_1^U=2(U\log U-U+1)$$ である。すなわち $$S=2\{(-np-1)\log (-np-1)+np+2\}$$ である。

(3)
左側の枝上の接点の $x$ 座標を $p$ とし、(2)と同じく $U=-np-1$ とおく。接点の $y$ 座標は $2n\log U$ であり、接線の傾きは $${\displaystyle \frac{2n^2}{np+1}}=-{\displaystyle \frac{2n^2}{U}}$$ である。接線が原点を通るので、接点における $y$ 座標は「傾き $\times$ $p$」に等しい。したがって $$2n\log U=p(-{\displaystyle \frac{2n^2}{U}})$$ である。ここで $$p=-{\displaystyle \frac{U+1}{n}}$$ だから $$2n\log U=2n(1+{\displaystyle \frac{1}{U}})$$ となり、$\log U=1+{\displaystyle \frac{1}{U}}$ を得る。

これを(2)の面積式に代入すると $$S=2\{U(1+{\displaystyle \frac{1}{U}})-U+1\}=4$$ である。

左枝では $u=-nx-1>0$ と置くと、曲線は $y=2n\log u$ になる。面積と接線条件を同じ $u$ で表し、接線条件を面積式へ代入する。

(1) $$y=2n\log \mathrm{\mid }nx+1\mathrm{\mid }$$だから、定義域は $x\mathrm{\ne }-1\mathrm{/}n$、漸近線は $x=-1\mathrm{/}n$ である。$x$ 軸との交点は$$x=-{\displaystyle \frac{2}{n}},x=0.$$また$$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2n^2}{nx+1}}$$なので、左枝は減少、右枝は増加する。

(2) $$U=-np-1>1$$とおく。左枝で $u=-nx-1$ と置けば$$dx=-{\displaystyle \frac{1}{n}}du\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_p^{-2\mathrm{/}n}2n\log (-nx-1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_1^U\log udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(U\log U-U+1)\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$S=2\{(-np-1)\log (-np-1)+np+2\}\mathrm{.}$$(3)
接点では $U=-np-1$ であり、$$y=2n\log U,y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{2n^2}{U}},p=-{\displaystyle \frac{U+1}{n}}\mathrm{.}$$接線が原点を通る条件 $y=p{y}^{\mathrm{\prime }}$ から$$\log U=1+{\displaystyle \frac{1}{U}}\mathrm{.}$$よって$$S=2\{U(1+{\displaystyle \frac{1}{U}})-U+1\}=4.$$