東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

楕円 $K$ 上の点は $$(x,y)=(c+a\cos u,b\sin u),b^2={\displaystyle \frac{c^2-a^2}{3}}$$ と表せる。回転後の座標を $(X,Y)$ とすると $$X=x\cos \theta -y\sin \theta$$ $$Y=x\sin \theta +y\cos \theta$$ である。

まず、すべての点で $X<0$ となる条件を求める。楕円上での $X$ の最大値は $c\cos \theta +\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$ である。したがって必要十分条件は $$c\cos \theta +\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }<0$$ である。平方根は0以上なので、まず $\cos \theta <0$ が必要である。このもとで両辺を移して2乗すると $$c^2{\cos }^2\theta >a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta$$ である。$b^2=(c^2-a^2)\mathrm{/}3$ を代入して、$c^2-a^2>0$ で割ると $${\cos }^2\theta >{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^2\theta$$ となる。よって $${150}^{\circ }<\theta <{210}^{\circ }$$ である。

次に、すべての点で $X+Y<0$ となる条件を求める。 $$X+Y=(\cos \theta +\sin \theta )x+(\cos \theta -\sin \theta )y$$ であるから、楕円上での最大値は$$c(\cos \theta +\sin \theta )+\sqrt{a^2(\cos \theta +\sin \theta {)}^2+b^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2}$$である。これが0未満になるためには、まず $$\cos \theta +\sin \theta <0$$ が必要である。そのもとで同様に2乗すると $$(c^2-a^2)(\cos \theta +\sin \theta {)}^2>b^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$$ であり、$b^2=(c^2-a^2)\mathrm{/}3$ より $$(\cos \theta +\sin \theta {)}^2>{\displaystyle \frac{1}{3}}(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$$ となる。 $$\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\cos (\theta -{45}^{\circ })$$、$$\cos \theta -\sin \theta =-\sqrt{2}\sin (\theta -{45}^{\circ })$$ を用いると、この条件は $$\cos (\theta -{45}^{\circ })<0,\mathrm{\mid }\tan (\theta -{45}^{\circ })\mathrm{\mid }<\sqrt{3}$$ である。したがって $${165}^{\circ }<\theta <{285}^{\circ }$$ である。

2つの条件を同時に満たす範囲は $({150}^{\circ },{210}^{\circ })\cap ({165}^{\circ },{285}^{\circ })$ である。よって求める範囲は $${165}^{\circ }<\theta <{210}^{\circ }$$ である。端点では楕円が境界直線に接するため、条件の $<0$ を満たさない。

【回転楕円と2つの開半平面】

回転後の2つの半平面を回転前へ戻し、楕円の中心から各境界直線までの余裕と、その法線方向の半径を比較する。2条件の角度区間を幾何的に交差させる。

回転後の条件 $X<0$ を回転前へ戻すと$$x\cos \theta -y\sin \theta <0$$である。楕円の中心 $(c,0)$ の左辺は $c\cos \theta$、その法線方向の
半径は$$\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta },b^2={\displaystyle \frac{c^2-a^2}{3}}\mathrm{.}$$中心値に半径を加えても負である条件を整理すると$${150}^{\circ }<\theta <{210}^{\circ }\mathrm{.}$$同様に $X+Y<0$ を回転前へ戻すと、法線方向は$$(\cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta -\sin \theta )$$である。中心値とその方向の半径を比較し、同じく平方して整理すると$${165}^{\circ }<\theta <{285}^{\circ }\mathrm{.}$$したがって2つの開半平面へ楕円全体が入るための必要十分条件は$${165}^{\circ }<\theta <{210}^{\circ }\mathrm{.}$$端点では楕円が境界線へ接するので含まれない。