東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
左辺を展開すると$$(1+\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta$$である。$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$より$$(1+\sin \theta +\cos \theta {)}^2=2+2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta$$となる。一方、$$2(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )=2+2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta$$であるから、等式は成り立つ。

(2)
(1)より $$(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )={\displaystyle \frac{(1+\sin \theta +\cos \theta {)}^2}{2}}$$ である。ここで $u=\sin \theta +\cos \theta$ とおくと、$$u=\sqrt{2}\sin (\theta +{45}^{\circ })$$ であるから $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ である。したがって対象は ${\displaystyle \frac{(1+u{)}^2}{2}}$ の最大・最小である。

区間$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$には$u=-1$が含まれるので、最小値は $${\displaystyle \frac{(1-1{)}^2}{2}}=0$$ である。最大値は$-1$から最も遠い端点$u=\sqrt{2}$で達し、$${\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{3+2\sqrt{2}}{2}}$$ である。

積を展開せず、$u=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +{45}^{\circ })$ と置く。(1)から積は $(1+u{)}^2\mathrm{/}2$ となるので、区間上の平方の距離として最大・最小を決める。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )}& {\displaystyle =2+2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta ,}\\ {\displaystyle (1+\sin \theta +\cos \theta {)}^2}& {\displaystyle =2+2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta ,}\end{array}$$ここで $${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ を用いた。よって恒等式が成り立つ。

(2) $$u=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +{45}^{\circ })$$とおけば $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ であり、$$(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )={\displaystyle \frac{(1+u{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$$u=-1$ が区間内にあるので最小値は $0$。また $-1$ から最も遠い端点は $u=\sqrt{2}$ だから最大値は$${\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{3+2\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$最大は $\theta ={45}^{\circ }$、最小は $$\theta ={180}^{\circ },{270}^{\circ }$$ で実現する。