東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

加法定理より $$\cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos \theta \cos n\theta$$ である。$x=\cos \theta$ とおくと $$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)=2x{P}_n(x)$$ である。よって $$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)=2x{P}_n(x)$$ である。

また $P_0(x)=1$、$P_1(x)=x$ である。上の関係から $$P_{n+1}(x)=2x{P}_n(x)-P_{n-1}(x)$$ であり、$P_n$ の最高次の項は毎回 $2x{P}_n$ から生じて、$P_{n-1}$ とは打ち消し合わない。したがって $P_n(x)\text{ の次数は }n$ である。

(2)

順に計算すると $$P_0(x)=1,P_1(x)=x$$ $P_2(x)=2x^2-1$ $$P_3(x)=2x{P}_2(x)-P_1(x)=4x^3-3x$$ $$P_4(x)=2x{P}_3(x)-P_2(x)=8x^4-8x^2+1$$ である。よって $$P_5(x)=2x{P}_4(x)-P_3(x)=16x^5-20x^3+5x$$ である。したがって $P_5(x)=16x^5-20x^3+5x$ である。

(3)

(2) より $$P_5(x)-1=16x^5-20x^3+5x-1$$ である。これを因数分解すると $$P_5(x)-1=(x-1)(4x^2+2x-1{)}^2$$ となる。したがって実数解は $x=1,4x^2+2x-1=0$ から得られる。

二次方程式の2解は $$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}},x={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}}$$ であり、いずれも実数で、$x=1$ とは異なる。よって異なる実数解の個数は $3$ である。

最後の方程式は $x=\cos \theta$ とおいて角度で解く。得た3値の重複度の合計が5次多項式の次数に達することを因数分解で確認し、区間外の実根がないことまで保証する。

(1)
加法定理から$$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)=2x{P}_n(x)\mathrm{.}$$$P_0=1,P_1=x$ とこの漸化式により、最高次係数は消えないので
$P_n$ の次数は $n$ である。

(2)
漸化式を順に用いて$$P_5(x)=16x^5-20x^3+5x\mathrm{.}$$(3)
$-1\leqq x\leqq 1$ で $x=\cos \theta$, $0\leqq \theta \leqq \pi$ とおくと$$P_5(x)=1⟺\cos 5\theta =1.$$よって$$\theta =0,{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$$から異なる3実根を得る。実際$$P_5(x)-1=(x-1)(4x^2+2x-1{)}^2$$であり、右辺はこの3実根だけで5次分の重複度を尽くす。したがって
異なる実数解は3個である。