東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $${\displaystyle \frac{1}{\tan u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2u}}=\cot u-\cot 2u$$ である。これを正弦・余弦で計算すると$$\cot u-\cot 2u={\displaystyle \frac{\cos u}{\sin u}}-{\displaystyle \frac{\cos 2u}{\sin 2u}}={\displaystyle \frac{\cos u\sin 2u-\sin u\cos 2u}{\sin u\sin 2u}}$$である。分子は $$\cos u\sin 2u-\sin u\cos 2u=\sin (2u-u)=\sin u$$ なので $${\displaystyle \frac{1}{\tan u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2u}}={\displaystyle \frac{1}{\sin 2u}}$$ である。

(2) まず $\cot u-2\cot 2u=\tan u$ を確認する。実際，$$\cot 2u={\displaystyle \frac{{\cot }^{2}u-1}{2\cot u}}$$ であるから$$\cot u-2\cot 2u=\cot u-{\displaystyle \frac{{\cot }^{2}u-1}{\cot u}}={\displaystyle \frac{1}{\cot u}}=\tan u$$である。

ここで $u=\theta \mathrm{/}{2}^n$ とすると$$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}=\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}-2\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^{n-1}}}$$である。両辺に $2^{-n}$ を掛けて$${\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^{n-1}}}$$となる。

したがって第 $N$ 項までの部分和は望遠和となり，$$\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}={\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}-\cot \theta$$である。$x=\theta \mathrm{/}{2}^N$ とおくと$${\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}={\displaystyle \frac{x}{\theta }}\cot x={\displaystyle \frac{1}{\theta }}\cdot {\displaystyle \frac{x}{\tan x}}$$である。問題文の極限 $\tan x\mathrm{/}x\to 1$ より $x\mathrm{/}\tan x\to 1$ だから$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}={\displaystyle \frac{1}{\theta }}$$である。よって求める和は ${\displaystyle \frac{1}{\theta }}-\cot \theta$ である。

望遠和で消える隣接項

倍角公式を繰り返して、有限個の余弦の積を正弦の比で表す。その有限恒等式の対数を微分すると、求める部分和が一度に現れる。

(1) $${\displaystyle \frac{1}{\tan u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2u}}={\displaystyle \frac{\cos u\sin 2u-\sin u\cos 2u}{\sin u\sin 2u}}={\displaystyle \frac{1}{\sin 2u}}\mathrm{.}$$(2)
倍角公式を $N$ 回繰り返すと$$\sin \theta =2^N\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^2}}\cdots \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ では各因子が正なので、両辺の対数を
$\theta$ で微分できる。すると$$\cot \theta ={\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}-\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}\mathrm{.}$$よって部分和は$$\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}={\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}-\cot \theta \mathrm{.}$$$x=\theta \mathrm{/}{2}^N$ とすれば$${\displaystyle \frac{1}{2^N}}\cot {\displaystyle \frac{\theta }{2^N}}={\displaystyle \frac{1}{\theta }}{\displaystyle \frac{x}{\tan x}}⟶{\displaystyle \frac{1}{\theta }}\mathrm{.}$$したがって求める和は$${\displaystyle \frac{1}{\theta }}-\cot \theta$$である。