東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直接計算すると$$AB=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+b^2& ac+bd\\ ac+bd& c^2+d^2\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+c^2& ab+cd\\ ab+cd& b^2+d^2\end{array}\right)$$である。したがって $AB=BA$ が成り立つための条件は $$b^2=c^2,ac+bd=ab+cd$$ である。後者は $$a(c-b)+d(b-c)=(c-b)(a-d)=0$$ と書ける。

まず $b^2=c^2$ から，$b=c$ または $b=-c$ である。$b=c$ のときは $(c-b)(a-d)=0$ は自動的に成り立つ。$b=-c$ のとき，もし $b=0$ なら $b=c$ の場合に含まれる。$b\mathrm{\ne }0$ なら $c-b\mathrm{\ne }0$ なので $a=d$ が必要である。

よって求める関係は $$b=c\text{または}b=-c\text{かつ}a=d$$ である。

(2) $a=3\mathrm{/}5$ とする。(1)の分類に従って調べる。

まず $b=c$ の場合，$B=A$ であるから $AB=I$ は $A^2=I$ を意味する。すなわち$${\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& b\\ b& d\end{array}\right)}^2=I$$である。成分を比較すると $${\displaystyle \frac{9}{25}}+b^2=1,b({\displaystyle \frac{3}{5}}+d)=0,b^2+d^2=1$$ となる。第一式から $b=\pm 4\mathrm{/}5$ であり，特に $b\mathrm{\ne }0$ なので第二式から $d=-3\mathrm{/}5$ である。したがって$$\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& 4\mathrm{/}5\\ 4\mathrm{/}5& -3\mathrm{/}5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& -4\mathrm{/}5\\ -4\mathrm{/}5& -3\mathrm{/}5\end{array}\right)$$を得る。

次に $b=-c$ かつ $a=d$ の場合，$$A=\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& b\\ -b& 3\mathrm{/}5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& -b\\ b& 3\mathrm{/}5\end{array}\right)$$である。このとき$$AB=BA=\left(\begin{array}{cc}9\mathrm{/}25+b^2& 0\\ 0& 9\mathrm{/}25+b^2\end{array}\right)$$だから，$AB=BA=I$ となるためには ${\displaystyle \frac{9}{25}}+b^2=1$ であればよい。よって $b=\pm 4\mathrm{/}5$ であり，$$\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& 4\mathrm{/}5\\ -4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& -4\mathrm{/}5\\ 4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5\end{array}\right)$$を得る。

以上より，求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& 4\mathrm{/}5\\ 4\mathrm{/}5& -3\mathrm{/}5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& -4\mathrm{/}5\\ -4\mathrm{/}5& -3\mathrm{/}5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& 4\mathrm{/}5\\ -4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}5& -4\mathrm{/}5\\ 4\mathrm{/}5& 3\mathrm{/}5\end{array}\right)$$である。

$B=A^{\mathsf{T}}$ であることを利用する。(1)では $A{A}^{\mathsf{T}}$ と
$A^{\mathsf{T}}A$ の対角・非対角成分を「行と列の長さ・内積」として比較する。
(2)では $A{A}^{\mathsf{T}}=I$ を、2本の行ベクトルが単位ベクトルで互いに直交する条件として解く。

(1)

$B=A^{\mathsf{T}}$ である。$AB=A{A}^{\mathsf{T}}$ の対角成分は2本の行の長さの二乗，
$BA=A^{\mathsf{T}}A$ の対角成分は2本の列の長さの二乗である。したがって$$a^2+b^2=a^2+c^2,c^2+d^2=b^2+d^2$$より $b^2=c^2$ を得る。また非対角成分の比較から$$ac+bd=ab+cd,(c-b)(a-d)=0$$である。ゆえに必要十分な関係は$$b=c\text{または}b=-c,a=d$$である。実際、どちらの場合も上の2条件を満たすので十分性も確認できる。

(2)

$AB=A{A}^{\mathsf{T}}=I$ より、$A$ の2本の行は長さ1で互いに直交する。
$a={\displaystyle \frac{3}{5}}$ だから、第1行の長さから$${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2+b^2=1,b=\pm {\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$第1列の長さから同様に $c=\pm {\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。行の直交条件は$${\displaystyle \frac{3}{5}}c+bd=0.$$$c=b$ のとき $d=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$、$c=-b$ のとき $d={\displaystyle \frac{3}{5}}$ となる。したがって$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ {\displaystyle \frac{4}{5}}& -{\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& -{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ -{\displaystyle \frac{4}{5}}& -{\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ -{\displaystyle \frac{4}{5}}& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& -{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ {\displaystyle \frac{4}{5}}& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right)$$の4個である。各行列について $$A{A}^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}A=I$$ を直接確かめられる。