東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

2つの列ベクトルを横に並べた行列を$$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$$とおく。この行列式は $$\det P=2\cdot 3-1\cdot 1=5\mathrm{\ne }0$$ である。したがって、$U$ と $V$ は同じ直線上にはなく、$P$ は逆行列をもつ。

いま、仮に条件を同時に満たす実行列 $A$ が存在したとする。$B=A^2$ とおくと $BU=V,BV=U$ である。これは、列をまとめて書けば$$BP=\left(\begin{array}{cc}V& U\end{array}\right)$$ということである。右辺は $P$ の2つの列を入れ替えたものなので$$\left(\begin{array}{cc}V& U\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。よって$$BP=P\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$となる。

両辺の行列式をとると$$\det B\det P=\det P\cdot \det \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。ここで $\det P\mathrm{\ne }0$ であり、また$$\det \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=-1$$だから $\det B=-1$ を得る。

一方、$B=A^2$ であるから $$\det B=\det (A^2)=(\det A{)}^2$$ である。$A$ の成分はすべて実数なので、$(\det A{)}^2\geqq 0$ である。これは $\det B=-1$ と矛盾する。

したがって、$A^{2}U=V$ と $A^{2}V=U$ が同時に成り立つような実行列 $A$ は存在しない。

$B=A^2$ と置き、$B$ が $U,V$ を交換することから $U-V$ が固有値 $-1$ に対応する方向になると読む。$A$ と $B=A^2$ は可換なので、$A$ もこの1次元方向を保つ。そこで $A(U-V)=\lambda (U-V)$ と書けば、2回作用させた倍率 ${\lambda }^2$ が $-1$ になってしまう。

$B=A^2$ とおく。仮に条件が同時に成り立つなら$$BU=V,BV=U$$である。したがって$$B(U-V)=-(U-V)\mathrm{.}$$ここで $B=A^2$ だから $A$ と $B$ は可換である。$$W=A(U-V)$$とおくと$$BW=BA(U-V)=AB(U-V)=-A(U-V)=-W\mathrm{.}$$$U,V$ は一次独立である。実際、$$\det \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)=5\mathrm{\ne }0.$$そこで $W=\alpha U+\beta V$ と書くと$$BW=\alpha V+\beta U,-W=-\alpha U-\beta V\mathrm{.}$$一次独立性から $\beta =-\alpha$ であり、$$A(U-V)=W=\alpha (U-V)$$となる。両辺へもう一度 $A$ を作用させれば$$A^2(U-V)={\alpha }^2(U-V)\mathrm{.}$$一方、左辺は $B(U-V)=-(U-V)$ である。$U-V\mathrm{\ne }O$ なので$${\alpha }^2=-1$$を得るが、$\alpha$ は実数だから不可能である。よって条件を同時に満たす実行列 $A$ は存在しない。