東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $x_1\geqq 0$、$y_1\geqq 0$ なので、$O{P}_1$ の方向を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ とおくことができる。ただし $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ である。$O{P}_2$ は $O{P}_1$ と直交するので、向きとして $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ を取ればよい。長さの倍率は、変換後の内積が0であるかどうかには影響しない。

変換は $(x,y)\mapsto (a(x-y),b(x+y))$ である。したがって $(\cos \theta ,\sin \theta )$ は $(a(\cos \theta -\sin \theta ),b(\cos \theta +\sin \theta ))$ に移る。また $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ は $(a(-\sin \theta -\cos \theta ),b(-\sin \theta +\cos \theta ))$ に移る。

これらの内積が0であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =a^2(\cos \theta -\sin \theta )(-\sin \theta -\cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +b^2(\cos \theta +\sin \theta )(\cos \theta -\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b^2-a^2)({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b^2-a^2)\cos 2\theta }\end{array}$$である。$a>b>0$ より $b^2-a^2\mathrm{\ne }0$ なので $\cos 2\theta =0$ である。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ より $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

(2)

円周上の点 $P=(x,y)$ について $x^2+y^2=1$ である。移った点を $P^{\mathrm{\prime }}$ とすると $$\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=(a(x-y),b(x+y))$$ であるから $$\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=a^2(x-y{)}^2+b^2(x+y{)}^2$$ である。

ここで $$p={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},q={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ とおくと $p^2+q^2=x^2+y^2=1$ であり、$\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2{p}^2+2b^2{q}^2$ である。$p^2+q^2=1$、$a>b>0$ だから、最大は $p^2=1$、$q^2=0$ のときで $\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\max }^{}=2a^2$ である。最小は $p^2=0$、$q^2=1$ のときで $\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\min }^{}=2b^2$ である。

したがって $$\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\max }=\sqrt{2}a,\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\min }=\sqrt{2}b$$ である。

変換後の内積を $A^{\mathsf{T}}A$ で表す。直交する単位方向 $e,e_{\perp }$ に対して $e^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A{e}_{\perp }=0$ を計算し、方向を決める。(2)は $(x-y{)}^2+(x+y{)}^2=2$ を使い、2項の重み付き和として長さの範囲を読む。

(1)

$P_1$ の単位方向を$$e=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right),e_{\perp }=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$$とする。変換後も直交する条件は$$(Ae)\cdot (A{e}_{\perp })=e^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A{e}_{\perp }=0.$$ここで$$A^{\mathsf{T}}A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+b^2& -a^2+b^2\\ -a^2+b^2& a^2+b^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$計算すると$$e^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}A{e}_{\perp }=(b^2-a^2)\cos 2\theta \mathrm{.}$$$a>b>0$ だから $\cos 2\theta =0$。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ より$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)

$P=(x,y)$、$x^2+y^2=1$ とすると$$\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=a^2(x-y{)}^2+b^2(x+y{)}^2\mathrm{.}$$また$$(x-y{)}^2+(x+y{)}^2=2.$$$a>b>0$ なので、$(x-y{)}^2=2$ のとき最大、$(x-y{)}^2=0$ のとき最小である。したがって$$\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\max }=\sqrt{2}a,\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}_{\min }=\sqrt{2}b\mathrm{.}$$最大は $x=-y=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$、最小は $x=y=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のときに得られる。