東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

点 $(2,2)$ を $f$ で移すと $$f(2,2)=(2\cos \theta +2\sin \theta ,4\sin \theta -4\cos \theta )$$ である。これに $g$ を作用させると$$(g\circ f)(2,2)=(-2k(2\cos \theta +2\sin \theta ),k(4\sin \theta -4\cos \theta ))$$である。したがって$$(g\circ f)(2,2)=(-4k(\cos \theta +\sin \theta ),4k(\sin \theta -\cos \theta ))$$である。

これが $(0,-8)$ に等しいので $$-4k(\cos \theta +\sin \theta )=0,4k(\sin \theta -\cos \theta )=-8$$ が成り立つ。第2式より $k\mathrm{\ne }0$ である。したがって第1式から $\cos \theta +\sin \theta =0$ である。 $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ でこれを満たすのは $$\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}},{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$$ である。 $\theta =3\pi \mathrm{/}4$ のとき$$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=\sqrt{2}$$であるから、第2式は $4k\sqrt{2}=-8$ となり、$k=-\sqrt{2}$ である。 $\theta =7\pi \mathrm{/}4$ のとき $$\sin \theta -\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}$$ であるから $-4k\sqrt{2}=-8$ となり、$k=\sqrt{2}$ である。

よって求める組は$$(\theta ,k)=({\displaystyle \frac{3\pi }{4}},-\sqrt{2}),(\theta ,k)=({\displaystyle \frac{7\pi }{4}},\sqrt{2})$$である。

$p=\cos \theta +\sin \theta ,q=\sin \theta -\cos \theta$ と置く。像の条件は $-4kp=0,4kq=-8$ となり、恒等式 $p^2+q^2=2$ と合わせれば $q$ と $k$ が直接決まる。最後に $p,q$ から $\sin \theta ,\cos \theta$ を復元する。

$$p=\cos \theta +\sin \theta ,q=\sin \theta -\cos \theta$$とおく。点 $(2,2)$ を $g\circ f$ で移した像は$$(-4kp,4kq)$$だから、条件は$$-4kp=0,4kq=-8.$$第2式から $k\mathrm{\ne }0$ なので $p=0$ である。一方$$p^2+q^2=(\cos \theta +\sin \theta {)}^2+(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=2.$$よって $q=\pm \sqrt{2}$ である。また $4kq=-8$ から$$k=-{\displaystyle \frac{2}{q}}\mathrm{.}$$$p=0$ のもとでは$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{p+q}{2}}={\displaystyle \frac{q}{2}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{p-q}{2}}=-{\displaystyle \frac{q}{2}}\mathrm{.}$$$q=\sqrt{2}$ のとき$$(\cos \theta ,\sin \theta )=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),$$したがって $$\theta =3\pi \mathrm{/}4,k=-\sqrt{2}$$ である。

$q=-\sqrt{2}$ のとき$$(\cos \theta ,\sin \theta )=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),$$したがって $$\theta =7\pi \mathrm{/}4,k=\sqrt{2}$$ である。

以上より$$(\theta ,k)=({\displaystyle \frac{3\pi }{4}},-\sqrt{2}),(\theta ,k)=({\displaystyle \frac{7\pi }{4}},\sqrt{2})\mathrm{.}$$