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東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

行列(cos⁡θsin⁡θ2sin⁡θ−2cos⁡θ)(0≦θ≦2π)(−2k00k)(kは実数)の表す1次変換をそれぞれf，gとする．
fとgの合成変換g∘fによって，
点(2, 2)が点(0, −8)に移るように，
θとkの値を求めよ．

難易度4/ 10計算量4/ 10目安15分

行列、三角関数　三角比の利用、計算整理

方針

まず点 (2,2) を f で移し、その結果に g を作用させる。第1成分が0で第2成分が −8 になる条件を成分ごとに立てる。k=0 では第2成分が0になってしまうため除外でき、第1成分から cos⁡θ+sin⁡θ=0 を得る。候補の θ を2つに絞り、それぞれ第2成分で k を決める。

解答

点 (2,2) を f で移すと f(2,2)=(2cos⁡θ+2sin⁡θ, 4sin⁡θ−4cos⁡θ) である。これに g を作用させると(g∘f)(2,2)=(−2k(2cos⁡θ+2sin⁡θ), k(4sin⁡θ−4cos⁡θ))である。したがって(g∘f)(2,2)=(−4k(cos⁡θ+sin⁡θ),4k(sin⁡θ−cos⁡θ))である。

これが (0,−8) に等しいので −4k(cos⁡θ+sin⁡θ)=0,4k(sin⁡θ−cos⁡θ)=−8 が成り立つ。第2式より k≠0 である。したがって第1式から cos⁡θ+sin⁡θ=0 である。 0≦θ≦2π でこれを満たすのは θ=3π4,7π4 である。 θ=3π/4 のときsin⁡θ−cos⁡θ=22−(−22)=2であるから、第2式は 4k2=−8 となり、k=−2 である。 θ=7π/4 のとき sin⁡θ−cos⁡θ=−22−22=−2 であるから −4k2=−8 となり、k=2 である。

よって求める組は(θ,k)=(3π4,−2),(θ,k)=(7π4,2)である。

別解

解法2

方針

p=cos⁡θ+sin⁡θ, q=sin⁡θ−cos⁡θ と置く。像の条件は −4kp=0, 4kq=−8 となり、恒等式 p2+q2=2 と合わせれば q と k が直接決まる。最後に p,q から sin⁡θ,cos⁡θ を復元する。

解答

p=cos⁡θ+sin⁡θ,q=sin⁡θ−cos⁡θとおく。点 (2,2) を g∘f で移した像は(−4kp,4kq)だから、条件は−4kp=0,4kq=−8.第2式から k≠0 なので p=0 である。一方p2+q2=(cos⁡θ+sin⁡θ)2+(sin⁡θ−cos⁡θ)2=2.よって q=±2 である。また 4kq=−8 からk=−2q.p=0 のもとではsin⁡θ=p+q2=q2,cos⁡θ=p−q2=−q2.q=2 のとき(cos⁡θ,sin⁡θ)=(−12,12),したがって θ=3π/4, k=−2 である。

q=−2 のとき(cos⁡θ,sin⁡θ)=(12,−12),したがって θ=7π/4, k=2 である。

以上より(θ,k)=(3π4,−2),(θ,k)=(7π4,2).

総評

合成変換を成分で追う基本問題。f(2,2) の第2成分には行列の下段の係数2が効いて 4sin⁡θ−4cos⁡θ になる点に注意する。第1成分だけを見ると k=0 もありそうに見えるが、第2成分が −8 であるため k≠0 と先に確認することが大切である。候補の角を2つ出した後、それぞれ符号を間違えずに k を決める。 成分比較と和差変数 p,q の2方法で候補2組を漏れなく確認した。

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出典: 東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 文系（後期） 後期 第1問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。