東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
与えられた等式は $$2f\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=f(x)+f(y)$$ である。両辺を $x$ で微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ となる。ここで $x$ と $y$ は任意である。任意の実数 $u$ に対し、$$u={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$$ となるように $y$ を選べるので、上式は $f^{\mathrm{\prime }}(u)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ が任意の $u,x$ で成り立つことを意味する。したがって $f^{\mathrm{\prime }}$ は定数である。

よって、ある定数 $c,d$ を用いて $f(x)=cx+d$ と書ける。条件 $f(0)=0$ より $d=0$ だから $f(x)=cx$ である。逆に、この形の関数は与式を満たす。

(2)
(1)より $f(x)=cx$ とおけばよい。最小にすべき積分を$$I(c)={\int }_0^{2\pi }(cx-\sin x{)}^{2}dx$$とおく。これは $c$ の2次式であり、最小値をとるところでは$$I^{\mathrm{\prime }}(c)=2{\int }_0^{2\pi }x(cx-\sin x)dx=0$$である。したがって$$c{\int }_0^{2\pi }{x}^{2}dx={\int }_0^{2\pi }x\sin xdx$$を得る。

まず$${\int }_0^{2\pi }{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^{2\pi }={\displaystyle \frac{8{\pi }^3}{3}}$$である。また部分積分により$${\int }_0^{2\pi }x\sin xdx={[-x\cos x]}_0^{2\pi }+{\int }_0^{2\pi }\cos xdx=-2\pi$$である。よって $$c\cdot {\displaystyle \frac{8{\pi }^3}{3}}=-2\pi$$ となり、$$c=-{\displaystyle \frac{3}{4{\pi }^2}}$$ である。したがって求める関数は $$f(x)=-{\displaystyle \frac{3x}{4{\pi }^2}}$$ である。

関数等式を一方の変数で微分し、任意の2点で導関数が等しいことを示す。(2) は積分を $c$ の2次式として展開し、平方完成で最小化する。

(1)
与式を $y$ で微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=f^{\mathrm{\prime }}(y)\mathrm{.}$$$x,y$ は任意なので、左辺の点 $(x+y)\mathrm{/}2$ も任意に動く。したがって $f^{\mathrm{\prime }}$ は一定である。よって$$f(x)=cx+d\mathrm{.}$$$f(0)=0$ から $d=0$ であり、$$f(x)=cx\mathrm{.}$$(2)$$I(c)={\int }_0^{2\pi }(cx-\sin x{)}^{2}dx$$とおく。必要な積分は$${\int }_0^{2\pi }{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{8{\pi }^3}{3}},{\int }_0^{2\pi }x\sin xdx=-2\pi ,{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi \mathrm{.}$$よって$$I(c)={\displaystyle \frac{8{\pi }^3}{3}}{c}^2+4\pi c+\pi \mathrm{.}$$平方完成すると$$I(c)={\displaystyle \frac{8{\pi }^3}{3}}{(c+{\displaystyle \frac{3}{4{\pi }^2}})}^2+\pi -{\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\mathrm{.}$$したがって最小にするのは$$c=-{\displaystyle \frac{3}{4{\pi }^2}},$$すなわち$$f(x)=-{\displaystyle \frac{3x}{4{\pi }^2}}\mathrm{.}$$