東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

横座標を $$X=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\mathrm{\mid },$$ 縦座標を $$Y=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$$ とおく。短針と長針のなす角を $\theta$ とすると，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=1$，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=2$ であるから $$Y=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }\cos \theta =2\cos \theta$$ である。時計の長針と短針の相対的な角度は一周するので，$\cos \theta$ は $[-1,1]$ のすべての値をとる。したがって $-2\leqq Y\leqq 2$ である。

また，内積を用いると$$X^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1+4+2Y$$となる。よって $$Y={\displaystyle \frac{X^2-5}{2}}$$ である。さらに $-2\leqq Y\leqq 2$ を上式に対応させると $1\leqq X\leqq 3$ である。

したがって，点の動く範囲は $$Y={\displaystyle \frac{X^2-5}{2}},1\leqq X\leqq 3$$ である。図示すると，$(1,-2)$ から $(3,2)$ までの放物線 $Y=(X^2-5)\mathrm{/}2$ の弧である。

2本の針とその和ベクトルが作る三角形に余弦定理を用いる。
針のなす角を $\theta$ として横座標の二乗と縦座標を同じ $\cos \theta$ で表し、消去する。

点の座標を $(X,Y)$、2本の針のなす角を $\theta$ とする。
長さ1と2の2辺の和ベクトルに余弦定理を用いると$$X^2=1^2+2^2+2\cdot 1\cdot 2\cos \theta =5+4\cos \theta \mathrm{.}$$一方、内積の定義から$$Y=1\cdot 2\cos \theta =2\cos \theta \mathrm{.}$$よって $\cos \theta$ を消去して$$X^2=5+2Y,Y={\displaystyle \frac{X^2-5}{2}}$$を得る。2本の針の相対角は一周するから $-1\leqq \cos \theta \leqq 1$ の全範囲をとる。
したがって$$-2\leqq Y\leqq 2,1\leqq X\leqq 3.$$求める軌跡は$$Y={\displaystyle \frac{X^2-5}{2}},1\leqq X\leqq 3$$であり、端点 $(1,-2)$，$(3,2)$ を含む放物線の弧である。