東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

位置ベクトルと速度ベクトルは$$\overrightarrow{OP}=e^t(\sin t,\cos t),\overrightarrow{v}=e^t(\sin t+\cos t,\cos t-\sin t)$$である。したがって$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{v}=e^{2t},\mid \overrightarrow{OP}\mid =e^t,\mid \overrightarrow{v}\mid =\sqrt{2}{e}^t\mathrm{.}$$よって、なす角を $\varphi$ とすると$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{v}}{\mid \overrightarrow{OP}\mid \mid \overrightarrow{v}\mid }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\varphi ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)

接線の傾きは$$f(t)={\displaystyle \frac{dy\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}}={\displaystyle \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}}\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}4$ では $\sin t+\cos t>0$ であり、$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log (\sin t+\cos t)={\displaystyle \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}}\mathrm{.}$$したがって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}f(t)dt={[\log (\sin t+\cos t)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}=\log \sqrt{2}\mathrm{.}$$

曲線を極座標で読む。動径は $e^t$、偏角は $\pi \mathrm{/}2-t$ なので、
半径方向と円周方向の速度の大きさが等しいことから角を求める。
積分は $u=\tan t$ と置いて有理式へ変換する。

(1) $$x=e^t\sin t,y=e^t\cos t$$より、動径は $r=e^t$、偏角は $$\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t$$ である。
半径方向の速度の大きさは$${\displaystyle \frac{dr}{dt}}=e^t,$$円周方向の速度の大きさは$$r\mid {\displaystyle \frac{d\phi }{dt}}\mid =e^t$$である。両成分は直交し、大きさが等しいので、速度ベクトルは動径
$\overrightarrow{OP}$ と$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$の角をなす。

(2)

成分を微分すれば$$f(t)={\displaystyle \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}}\mathrm{.}$$$u=\tan t$ とおくと $0\leqq u\leqq 1$ であり、$$dt={\displaystyle \frac{du}{1+u^2}},f(t)={\displaystyle \frac{1-u}{1+u}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}f(t)dt}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1-u}{(1+u)(1+u^2)}}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1({\displaystyle \frac{1}{1+u}}-{\displaystyle \frac{u}{1+u^2}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\log (1+u)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (1+u^2)]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2=\log \sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$