東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系理系数学 第2問

(1)

平面 $ABC$ は、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸との切片がそれぞれ $a,b,c$ である。したがって $${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$$ である。すなわち $${\displaystyle \frac{1}{a}}x+{\displaystyle \frac{1}{b}}y+{\displaystyle \frac{1}{c}}z-1=0$$ である。

原点とこの平面との距離 $h$ は $$h={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1\mathrm{/}{a}^2+1\mathrm{/}{b}^2+1\mathrm{/}{c}^2}}}$$ である。分母分子に $abc$ を掛けると $$h={\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}}$$ となる。

(2)

四面体 $OABC$ は、互いに直交する3本の辺 $OA=a$、$OB=b$、$OC=c$ をもつので、その体積は ${\displaystyle \frac{abc}{6}}$ である。一方、$\mathrm{△}ABC$ を底面、原点から平面 $ABC$ までの距離を高さと見ると、体積は ${\displaystyle \frac{1}{3}}[ABC]h$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{3}}[ABC]h={\displaystyle \frac{abc}{6}}$$ であり、(1)の $h$ を代入すると $$[ABC]={\displaystyle \frac{abc}{2h}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}$$ である。したがって $$[ABC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}$$ である。

(3)

まず面 $ABC$ について考える。平面 $ABC$ の方程式は $${\displaystyle \frac{1}{a}}x+{\displaystyle \frac{1}{b}}y+{\displaystyle \frac{1}{c}}z=1$$ であり、四面体の内部にある原点は左辺が0になる側にある。したがって外向きの単位法線は、$(1\mathrm{/}a,1\mathrm{/}b,1\mathrm{/}c)$ と同じ向きである。(2)の面積を掛けると $$S_0\overrightarrow{u_0}={\displaystyle \frac{1}{2}}(bc,ca,ab)$$ である。

次に、面 $OAB$ は $z=0$ 上にあり、内部は $z>0$ 側にあるので、外向き単位法線は $(0,0,-1)$ である。面積は $ab\mathrm{/}2$ だから $$S_1\overrightarrow{u_1}=(0,0,-{\displaystyle \frac{ab}{2}})$$ である。

同様に、面 $OBC$ は $x=0$ 上にあり、外向きは負の $x$ 方向であるから $$S_2\overrightarrow{u_2}=(-{\displaystyle \frac{bc}{2}},0,0)$$ である。また、面 $OCA$ は $y=0$ 上にあり、外向きは負の $y$ 方向であるから $$S_3\overrightarrow{u_3}=(0,-{\displaystyle \frac{ca}{2}},0)$$ である。

これらを足すと$${\displaystyle \frac{1}{2}}(bc,ca,ab)+(0,0,-{\displaystyle \frac{ab}{2}})+(-{\displaystyle \frac{bc}{2}},0,0)+(0,-{\displaystyle \frac{ca}{2}},0)=(0,0,0)$$である。したがって$$S_0\overrightarrow{u_0}+S_1\overrightarrow{u_1}+S_2\overrightarrow{u_2}+S_3\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{0}$$である。

四面体と外向き面積ベクトル

面積は2辺の内積から直接求める。(3)は各面を座標平面へ正射影した符号付き面積を成分ごとに比較し、閉じた四面体では外向き面積ベクトルが相殺することを示す。

(1)
平面の切片形から$${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1,h={\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}}\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{AB}=(-a,b,0),\overrightarrow{AC}=(-a,0,c)$$である。三角形の面積を $S$ とすると、内積による面積公式から$$4S^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2$$$$=(a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\mathrm{.}$$よって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}\mathrm{.}$$(3)
ベクトル $S_i\overrightarrow{u_i}$ の各成分は、その面を対応する座標平面へ
正射影した符号付き面積である。例えば $x$ 成分では、面 $ABC$ の
$yz$ 平面への射影は面 $OBC$ と同じ三角形で、外向きは互いに反対である。
したがって両者の $x$ 成分は相殺する。同様に $y,z$ 成分もそれぞれ
面 $OCA$、面 $OAB$ と相殺する。ゆえに$$S_0\overrightarrow{u_0}+S_1\overrightarrow{u_1}+S_2\overrightarrow{u_2}+S_3\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{0}\mathrm{.}$$