東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$x=\log a$，$y=\log b$，$z=\log c$ とおく。$a,b,c>1$ より $$x>0,y>0,z>0$$ である。また$${\log }_{ab}a={\displaystyle \frac{x}{x+y}},{\log }_{bc}b={\displaystyle \frac{y}{y+z}},{\log }_{ca}c={\displaystyle \frac{z}{z+x}}$$である。和を $$S={\displaystyle \frac{x}{x+y}}+{\displaystyle \frac{y}{y+z}}+{\displaystyle \frac{z}{z+x}}$$ とおく。

(1)
分母 $D=(x+y)(y+z)(z+x)$ は正である。通分して整理すると $$S-1={\displaystyle \frac{x^{2}y+xyz+x{z}^2+y^{2}z}{D}}$$ である。分子の各項はすべて正であるから $S-1>0$ である。したがって $${\log }_{ab}a+{\log }_{bc}b+{\log }_{ca}c>1$$ が成り立つ。

(2)
同じ分母で整理すると $$2-S={\displaystyle \frac{x^{2}z+x{y}^2+xyz+y{z}^2}{D}}$$ である。これも分子の各項がすべて正であるから $2-S>0$ である。よって $${\log }_{ab}a+{\log }_{bc}b+{\log }_{ca}c<2$$ が成り立つ。

(3) $S-3\mathrm{/}2$ を同じ分母で整理すると $$S-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{2(x+y)(y+z)(z+x)}}$$ である。分母は正なので，$S=3\mathrm{/}2$ となるための必要十分条件は $(x-y)(x-z)(y-z)=0$ である。これは $$x=y\text{または}x=z\text{または}y=z$$ を意味する。

対数は同じ底でとっているので，$x=y$ は $a=b$，$x=z$ は $a=c$，$y=z$ は $b=c$ と同値である。したがって必要十分条件は $$a=b\text{または}b=c\text{または}c=a$$ である。

分母を3数の和で比較して、通分せずに $1<S<2$ を示す。
等号条件だけは $S-3\mathrm{/}2$ の分子を因数分解し、必要十分性を確認する。

$$x=\log a,y=\log b,z=\log c$$ とおくと $x,y,z>0$ であり、$$S={\displaystyle \frac{x}{x+y}}+{\displaystyle \frac{y}{y+z}}+{\displaystyle \frac{z}{z+x}}\mathrm{.}$$(1)

$x+y<x+y+z$ などから$${\displaystyle \frac{x}{x+y}}>{\displaystyle \frac{x}{x+y+z}},{\displaystyle \frac{y}{y+z}}>{\displaystyle \frac{y}{x+y+z}},{\displaystyle \frac{z}{z+x}}>{\displaystyle \frac{z}{x+y+z}}\mathrm{.}$$加えると $S>1$ である。

(2) $$3-S={\displaystyle \frac{y}{x+y}}+{\displaystyle \frac{z}{y+z}}+{\displaystyle \frac{x}{z+x}}\mathrm{.}$$右辺の各項を同様に $x+y+z$ を分母とする分数と比較すれば $3-S>1$、
すなわち $S<2$ を得る。

(3)

正の数$$D=(x+y)(y+z)(z+x)$$を分母として整理すると$$2D(S-{\displaystyle \frac{3}{2}})=(x-y)(x-z)(y-z)\mathrm{.}$$したがって $S={\displaystyle \frac{3}{2}}$ の必要十分条件は$$(x-y)(x-z)(y-z)=0.$$これは $x,y,z$ のうち少なくとも2つが等しいことと同値であり、
対数関数は単調だから$$a=b\text{または}b=c\text{または}c=a$$が必要十分条件である。