東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$G={\int }_{-1}^{1}g(t)dt,H={\int }_{-1}^{1}tg(t)dt$$とおく。すると最初の式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^2+{\int }_{-1}^1(x-t)g(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+x{\int }_{-1}^{1}g(t)dt-{\int }_{-1}^{1}tg(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+Gx-H}\end{array}$$となる。$G,H$ は $x$ によらない定数なので、$f(x)$ は $x$ の2次式である。

(2)

(1) で得た $f(x)=x^2+Gx-H$ を第2式に代入する。まず $f(t-x)=(t-x{)}^2+G(t-x)-H$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t-x)dt}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{(t-x{)}^2+G(t-x)-H\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left({\int }_{-1}^1{t}^{2}dt\right)+2x^2+G({\int }_{-1}^{1}tdt-2x)-2H}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2x^2-2Gx-2H}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{{\displaystyle \frac{3}{2}}f(t-x)+xg(t)\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+2x^2-2Gx-2H)+xG}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3x^2-2Gx+1-3H}\end{array}$$である。

ここで $G,H$ の定義に戻る。上の式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}g(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(3t^2-2Gt+1-3H)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2(1-3H)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-6H}\end{array}$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}tg(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(3t^3-2G{t}^2+(1-3H)t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2G\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{4}{3}}G}\end{array}$$である。

よって $$G=4-6H,H=-{\displaystyle \frac{4}{3}}G$$ を解けばよい。第2式を第1式に代入して $G=4+8G$ となるから $G=-{\displaystyle \frac{4}{7}}$ であり、$$H=-{\displaystyle \frac{4}{3}}(-{\displaystyle \frac{4}{7}})={\displaystyle \frac{16}{21}}$$ である。

したがって $$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{4}{7}}x-{\displaystyle \frac{16}{21}}$$ である。また $g(x)=3x^2-2Gx+1-3H$ に代入して $$g(x)=3x^2+{\displaystyle \frac{8}{7}}x+1-{\displaystyle \frac{16}{7}}=3x^2+{\displaystyle \frac{8}{7}}x-{\displaystyle \frac{9}{7}}$$ である。

第1式から $f(x)=x^2+px+q$ と係数を置く。第2式へ代入して $g(x)$ を $p,q$ で表し、$p,q$ を2つの定積分が与える定数として元の式へ戻す。偶奇性を使った2本の一次方程式だけで $p,q$ を決める。

(1)

第1式を展開すると$$f(x)=x^2+x{\int }_{-1}^{1}g(t)dt-{\int }_{-1}^{1}tg(t)dt\mathrm{.}$$2つの積分は $x$ によらないから、定数 $p,q$ を用いて$$f(x)=x^2+px+q$$と書ける。よって $f$ は2次式である。また係数の意味から$$p={\int }_{-1}^{1}g(t)dt,q=-{\int }_{-1}^{1}tg(t)dt\mathrm{.}$$(2)$$f(t-x)=(t-x{)}^2+p(t-x)+q$$を第2式へ代入する。奇関数の積分が0になることを使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(t-x)dt+x{\int }_{-1}^{1}g(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+2x^2-2px+2q)+px}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3x^2-2px+1+3q\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}g(t)dt=4+6q,}\\ {\displaystyle -q}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}tg(t)dt=-{\displaystyle \frac{4}{3}}p\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$p=4+6q,q={\displaystyle \frac{4}{3}}p\mathrm{.}$$これを解くと$$p=-{\displaystyle \frac{4}{7}},q=-{\displaystyle \frac{16}{21}}\mathrm{.}$$よって$$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{4}{7}}x-{\displaystyle \frac{16}{21}},$$$$g(x)=3x^2+{\displaystyle \frac{8}{7}}x-{\displaystyle \frac{9}{7}}\mathrm{.}$$これらを元の2式へ代入すれば両辺が一致する。