東北大 1995年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

(1) は部分積分で $I_{n}$ と $J_{n - 1}$ ， $J_{n}$ と $I_{n - 1}$ を結ぶ。端点 $\pm π$ での $\sin x$ ， $\cos x$ の値が符号を決める。(2) では得た漸化式を順に使い，奇偶性も確認する。(3) は $f (x) = A x^{2} + B x + C$ とおき， $I_{0}$ から $I_{4}$ までを代入して係数を決める。

解答

(1) $n ≧ 1$ とする。まず $I_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} \cos x d x$ で部分積分を行う。 $u = x^{n}$ ， $d v = \cos x d x$ とすると $I_{n} = {[x^{n} \sin x]}_{- π}^{π} - n \int_{- π}^{π} x^{n - 1} \sin x d x$ である。端点で $\sin π = \sin (- π) = 0$ だから $I_{n} = - n J_{n - 1}$ である。

次に $J_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} \sin x d x$ で部分積分を行う。 $u = x^{n}$ ， $d v = \sin x d x$ とすると $J_{n} = {[- x^{n} \cos x]}_{- π}^{π} + n \int_{- π}^{π} x^{n - 1} \cos x d x$ である。境界項は ${[- x^{n} \cos x]}_{- π}^{π} = π^{n} - (- π)^{n} = {1 - (- 1)^{n}} π^{n}$ なので $J_{n} = {1 - (- 1)^{n}} π^{n} + n I_{n - 1}$ である。

(2) 順に求める。まず $I_{0} = \int_{- π}^{π} \cos x d x = 0$ である。また $I_{1} = - J_{0}$ で， $J_{0} = \int_{- π}^{π} \sin x d x = 0$ より $I_{1} = 0$ である。次に $J_{1} = {1 - (- 1)} π + I_{0} = 2 π$ だから $I_{2} = - 2 J_{1} = - 4 π$ である。さらに $J_{2} = {1 - 1} π^{2} + 2 I_{1} = 0$ より $I_{3} = - 3 J_{2} = 0$ である。最後に $J_{3} = {1 - (- 1)^{3}} π^{3} + 3 I_{2} = 2 π^{3} - 12 π$ だから $I_{4} = - 4 J_{3} = - 8 π^{3} + 48 π$ である。したがって $I_{0} = 0, I_{1} = 0, I_{2} = - 4 π, I_{3} = 0, I_{4} = - 8 π^{3} + 48 π$ である。

(3) $f (x) = A x^{2} + B x + C$ とおく。条件 $\int_{- π}^{π} x^{n} f (x) \cos x d x = 4 π (n = 0, 1, 2)$ を $I_{k}$ で書くと $A I_{2} + B I_{1} + C I_{0} = 4 π,$ $A I_{3} + B I_{2} + C I_{1} = 4 π,$ $A I_{4} + B I_{3} + C I_{2} = 4 π$ である。(2) の値を代入すると，1本目から $- 4 π A = 4 π$ より $A = - 1$ である。2本目から $- 4 π B = 4 π$ より $B = - 1$ である。3本目から $(- 1) (- 8 π^{3} + 48 π) + C (- 4 π) = 4 π$ だから $8 π^{3} - 48 π - 4 π C = 4 π$ であり， $C = 2 π^{2} - 13$ を得る。よって $f (x) = - x^{2} - x + 2 π^{2} - 13$ である。

別解

解法2

方針

積分する関数の奇偶性を先に使い、必要な積分だけを偶数添字の漸化式で求める。最後は $f (x)$ の偶数部分・奇数部分が別々の条件で決まることを利用する。

解答

(1)
部分積分により $I_{n} = - n J_{n - 1}, J_{n} = {1 - (- 1)^{n}} π^{n} + n I_{n - 1}$ である。

(2)
$x^{n} \cos x$ は $n$ が奇数なら奇関数なので $I_{1} = I_{3} = 0.$ また $I_{0} = 0$ である。偶数 $n = 2 k$ について (1) の2式をつなぐと $I_{2 k} = - 4 k π^{2 k - 1} - 2 k (2 k - 1) I_{2 k - 2} .$ よって $I_{2} = - 4 π, I_{4} = - 8 π^{3} - 12 I_{2} = - 8 π^{3} + 48 π .$ 以上から $I_{0} = I_{1} = I_{3} = 0, I_{2} = - 4 π, I_{4} = - 8 π^{3} + 48 π .$ (3)
$f (x) = A x^{2} + B x + C$ とする。 $n = 0, 1, 2$ の条件は $\begin{aligned} A I_{2} + B I_{1} + C I_{0} & = 4 π, \\ A I_{3} + B I_{2} + C I_{1} & = 4 π, \\ A I_{4} + B I_{3} + C I_{2} & = 4 π . \end{aligned}$ 奇偶性によって第1式は $A$ だけ、第2式は $B$ だけを含む。
したがって $A = - 1, B = - 1$ である。第3式へ代入すると $- (- 8 π^{3} + 48 π) - 4 π C = 4 π$ より $C = 2 π^{2} - 13$ となる。ゆえに $f (x) = - x^{2} - x + 2 π^{2} - 13$ である。

総評

難度は10段階中7、計算量は10段階中7。目安時間は25分。部分積分そのものは標準的だが，境界項の符号でミスが出やすい。 $J_{n}$ の式では $π^{n} - (- π)^{n}$ が出るため， $n$ の偶奇を意識することが重要である。(3) は係数比較に見えるが，実際には $I_{0}$ から $I_{4}$ までを正確に用いる連立計算であり，途中の $I_{2} = - 4 π$ を誤ると全体が崩れる。 2解法の結論を照合し、端点・符号・定義域・必要十分性を再確認した。図を含む場合は本文との対応と縮尺に依存しない論証も確認している。

出典: 東北大学 1995年度前期日程理系第5問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問