東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $n\geqq 1$ とする。まず$$I_n={\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^n\cos xdx$$で部分積分を行う。$u=x^n$，$dv=\cos xdx$ とすると$$I_n={[x^n\sin x]}_{-\pi }^{\pi }-n{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{n-1}\sin xdx$$である。端点で $\sin \pi =\sin (-\pi )=0$ だから $I_n=-n{J}_{n-1}$ である。

次に$$J_n={\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^n\sin xdx$$で部分積分を行う。$u=x^n$，$dv=\sin xdx$ とすると$$J_n={[-x^n\cos x]}_{-\pi }^{\pi }+n{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{n-1}\cos xdx$$である。境界項は$${[-x^n\cos x]}_{-\pi }^{\pi }={\pi }^n-(-\pi {)}^n=\{1-(-1{)}^n\}{\pi }^n$$なので $$J_n=\{1-(-1{)}^n\}{\pi }^n+n{I}_{n-1}$$ である。

(2) 順に求める。まず$$I_0={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos xdx=0$$である。また $I_1=-J_0$ で，$$J_0={\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx=0$$より $I_1=0$ である。次に $$J_1=\{1-(-1)\}\pi +I_0=2\pi$$ だから $I_2=-2J_1=-4\pi$ である。さらに $J_2=\{1-1\}{\pi }^2+2I_1=0$ より $I_3=-3J_2=0$ である。最後に $$J_3=\{1-(-1{)}^3\}{\pi }^3+3I_2=2{\pi }^3-12\pi$$ だから $I_4=-4J_3=-8{\pi }^3+48\pi$ である。したがって$$I_0=0,I_1=0,I_2=-4\pi ,I_3=0,I_4=-8{\pi }^3+48\pi$$である。

(3) $f(x)=A{x}^2+Bx+C$ とおく。条件$${\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{n}f(x)\cos xdx=4\pi (n=0,1,2)$$を $I_k$ で書くと $A{I}_2+B{I}_1+C{I}_0=4\pi ,$ $A{I}_3+B{I}_2+C{I}_1=4\pi ,$ $A{I}_4+B{I}_3+C{I}_2=4\pi$ である。(2) の値を代入すると，1本目から $-4\pi A=4\pi$ より $A=-1$ である。2本目から $-4\pi B=4\pi$ より $B=-1$ である。3本目から $$(-1)(-8{\pi }^3+48\pi )+C(-4\pi )=4\pi$$ だから $$8{\pi }^3-48\pi -4\pi C=4\pi$$ であり，$C=2{\pi }^2-13$ を得る。よって $f(x)=-x^2-x+2{\pi }^2-13$ である。

積分する関数の奇偶性を先に使い、必要な積分だけを偶数添字の漸化式で求める。最後は $f(x)$ の偶数部分・奇数部分が別々の条件で決まることを利用する。

(1)
部分積分により$$I_n=-n{J}_{n-1},J_n=\{1-(-1{)}^n\}{\pi }^n+n{I}_{n-1}$$である。

(2)
$x^n\cos x$ は $n$ が奇数なら奇関数なので$$I_1=I_3=0.$$また $I_0=0$ である。偶数 $n=2k$ について (1) の2式をつなぐと$$I_{2k}=-4k{\pi }^{2k-1}-2k(2k-1)I_{2k-2}\mathrm{.}$$よって$$I_2=-4\pi ,I_4=-8{\pi }^3-12I_2=-8{\pi }^3+48\pi \mathrm{.}$$以上から$$I_0=I_1=I_3=0,I_2=-4\pi ,I_4=-8{\pi }^3+48\pi \mathrm{.}$$(3)
$f(x)=A{x}^2+Bx+C$ とする。$n=0,1,2$ の条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{I}_2+B{I}_1+C{I}_0}& {\displaystyle =4\pi ,}\\ {\displaystyle A{I}_3+B{I}_2+C{I}_1}& {\displaystyle =4\pi ,}\\ {\displaystyle A{I}_4+B{I}_3+C{I}_2}& {\displaystyle =4\pi \mathrm{.}}\end{array}$$奇偶性によって第1式は $A$ だけ、第2式は $B$ だけを含む。
したがって $A=-1,B=-1$ である。第3式へ代入すると$$-(-8{\pi }^3+48\pi )-4\pi C=4\pi$$より $C=2{\pi }^2-13$ となる。ゆえに$$f(x)=-x^2-x+2{\pi }^2-13$$である。