東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

不等式 $3x^2+y^2\leqq 3$ は $x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}\leqq 1$ と同値である。そこで $$X=x,Y={\displaystyle \frac{y}{\sqrt{3}}}$$ とおくと，楕円は単位円 $X^2+Y^2\leqq 1$ に移る。この変換では $y=\sqrt{3}Y$ であるから，面積は $XY$ 平面での面積の $\sqrt{3}$ 倍になる。

次に直線 $y=x-1$ は $\sqrt{3}Y=X-1$ すなわち $X-\sqrt{3}Y=1$ に移る。原点からこの直線までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0-0-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。また原点は $0\leqq 1$ を満たすので，求める領域は単位円のうち原点側の大きい部分である。

単位円を，中心から距離 $1\mathrm{/}2$ の直線で切る。小さい弓形に対応する中心角を $\phi$ とする。弦の中点と円の中心とを結ぶと，$0<\phi \mathrm{/}2<\pi \mathrm{/}2$ であり，$\cos (\phi \mathrm{/}2)=1\mathrm{/}2$ となる。したがって $\phi \mathrm{/}2=\pi \mathrm{/}3$，すなわち $\phi =2\pi \mathrm{/}3$ である。その弓形の面積は，扇形から二等辺三角形を引いて$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^2\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$である。

よって単位円内で求める部分の面積は$$\pi -({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$である。元の $xy$ 平面での面積はこれを $\sqrt{3}$ 倍して ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。

【楕円から小さい弓形を除く】

楕円を円へ変換せず、$x$ ごとの縦の長さを直接積分する。直線と楕円の交点で区間を分け、円弧の対称性を使って標準積分へまとめる。

直線 $y=x-1$ と楕円の交点は$$3x^2+(x-1{)}^2=3$$より $x=-1\mathrm{/}2,1$ である。楕円の上端・下端は$$y=\pm \sqrt{3}\sqrt{1-x^2}$$だから、求める面積を $S$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_{-1}^{-1\mathrm{/}2}2\sqrt{3}\sqrt{1-x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{-1\mathrm{/}2}^1\{\sqrt{3}\sqrt{1-x^2}-(x-1)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$円弧の対称性を使ってまとめれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle \sqrt{3}{\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx+\sqrt{3}{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\int }_{-1\mathrm{/}2}^1(x-1)dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}},$$また $x=\sin \theta$ とおけば$${\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}$$さらに$$-{\int }_{-1\mathrm{/}2}^1(x-1)dx={\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。