東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

四角形 $ABCD$ は$$A+\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AD}(0\leqq \alpha \leqq 1,0\leqq \beta \leqq 1)$$で表せる。ここで $$\overrightarrow{AB}=(1,1,0),\overrightarrow{AD}=(1,0,1)$$ なので，四角形上の点は $$(x,y,z)=(\alpha +\beta ,\alpha ,\beta )$$ と書ける。したがって平面 $x=t$ による切り口は $$\alpha +\beta =t,0\leqq \alpha ,\beta \leqq 1$$ を満たす線分である。

(1) まず $0\leqq t\leqq 1$ のとき，$\alpha$ は $0\leqq \alpha \leqq t$ を動き，$\beta =t-\alpha$ である。すなわち $yz$ 平面では $$y+z=t,0\leqq y,z$$ 上の線分になる。$x$ 軸のまわりに回転させると，半径の2乗は $r^2=y^2+z^2=y^2+(t-y{)}^2$ である。この値は $y=t\mathrm{/}2$ で最小となり $$r_{\min }^{}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$ 端点 $y=0,t$ で最大となり $r_{\max }^{}=t^2$ である。したがって切り口の面積は円環の面積として $$S(t)=\pi (r_{\max }^{}-r_{\min }^{})={\displaystyle \frac{\pi t^2}{2}}$$ である。

次に $1\leqq t\leqq 2$ のとき，$\alpha$ は $t-1\leqq \alpha \leqq 1$ を動く。つまり $$y+z=t,t-1\leqq y\leqq 1$$ である。このときも $r^2=y^2+(t-y{)}^2$ であり，最小値は $y=t\mathrm{/}2$ で $$r_{\min }^{}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$ である。また最大値は端点でとり，$r_{\max }^{}=1^2+(t-1{)}^2$ である。したがって$$S(t)=\pi \{1+(t-1{)}^2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\}(1\leqq t\leqq 2)$$となる。

(2) 体積は切り口の面積を $t$ で積分して$$V={\int }_0^1{\displaystyle \frac{\pi t^2}{2}}dt+{\int }_1^2\pi \{1+(t-1{)}^2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\}dt$$である。第1項は $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ であり，第2項は$$\pi {\int }_1^2(2-2t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}})dt=\pi {[2t-t^2+{\displaystyle \frac{t^3}{6}}]}_1^2={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$である。よって $$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

【$x=t$ の切り口にできる円環】

回転後の立体を、$x$ 軸からの距離 $r$ が一定の薄い円筒殻に分ける。各半径で許される $x$ の長さを求め、円筒殻の体積を $r$ について積分する。

(1)
元の四角形は$$(x,y,z)=(\alpha +\beta ,\alpha ,\beta ),0\leqq \alpha ,\beta \leqq 1$$である。$x=t$ で切ると $y+z=t$ となる。半径の2乗
$r^2=y^2+z^2$ の最小値は $y=z=t\mathrm{/}2$ で
$t^2\mathrm{/}2$ である。最大値は端点で取り、$$r_{\max }^{}=\{\begin{array}{ll}{t}^2& (0\leqq t\leqq 1),\\ 1+(t-1{)}^2& (1\leqq t\leqq 2)\end{array}$$となる。よって$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi t^2}{2}}& (0\leqq t\leqq 1),\\ \pi \{1+(t-1{)}^2-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\}& (1\leqq t\leqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
ここでは別の数え方をする。元の四角形上では$$x=y+z,0\leqq y,z\leqq 1.$$半径 $$r=\sqrt{y^2+z^2}$$ を固定して第1象限の円弧を動かすと、
対応する $x=y+z$ の範囲は$$\{\begin{array}{ll}r\leqq x\leqq \sqrt{2}r& (0\leqq r\leqq 1),\\ 1+\sqrt{r^2-1}\leqq x\leqq \sqrt{2}r& (1\leqq r\leqq \sqrt{2})\mathrm{.}\end{array}$$したがって円筒殻の周長 $2\pi r$ と $x$ 方向の長さを掛けて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_0^{1}r(\sqrt{2}r-r)dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_1^{\sqrt{2}}r(\sqrt{2}r-1-\sqrt{r^2-1})dr\mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(\sqrt{2}-1)$$である。また第2項は$$2\pi {[{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}{r}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}]}_1^{\sqrt{2}}=\pi -{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}\pi }{3}}\mathrm{.}$$両者を足して$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$を得る。