東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $g(x)=f(x{)}^2+f(1-x{)}^2$ である。これを微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)-2f(1-x)f^{\mathrm{\prime }}(1-x)$$ である。

条件より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=af(1-x)$ である。また、この式の $x$ に $1-x$ を代入すると $f^{\mathrm{\prime }}(1-x)=af(x)$ である。したがって $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)af(1-x)-2f(1-x)af(x)=0$$ となる。よって $g(x)\text{ は }x\text{ によらない定数である}$ ことが分かる。

(2) $f(x)$ は $x=0$ で最大値2をとるので $f(0)=2$ である。また微分可能で、$x=0$ で最大をとるから $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。条件式に $x=0$ を代入すると $f^{\mathrm{\prime }}(0)=af(1)$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ だから $f(1)=0$ である。

(1) より $g(x)$ は定数なので $$g(x)=g(0)=f(0{)}^2+f(1{)}^2=2^2+0^2=4$$ である。したがって $g(x)=4$ である。

(3)

(2) より、すべての $x$ について $f(x{)}^2+f(1-x{)}^2=4$ である。これを $0$ から $1$ まで積分すると $${\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx+{\int }_0^{1}f(1-x{)}^{2}dx=4$$ である。第2項で $u=1-x$ と置換すると $${\int }_0^{1}f(1-x{)}^{2}dx={\int }_0^{1}f(u{)}^{2}du$$ である。したがって $$2{\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=4$$ となるので $${\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=2$$ である。

保存される二乗和

$f(1-x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{/}a$ と書き、対称な二乗和を $f$ と $f^{\mathrm{\prime }}$ の保存量へ変える。2階微分方程式を介して保存を示し、端点条件と対称積分で値を決める。

(1)
条件式をもう一度微分すると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-a{f}^{\mathrm{\prime }}(1-x)=-a^{2}f(x)\mathrm{.}$$また$$f(1-x)={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{a}}$$だから$$g(x)=f(x{)}^2+{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x{)}^2}{a^2}}\mathrm{.}$$これを微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)+{\displaystyle \frac{2f^{\mathrm{\prime }}(x)f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}{a^2}}=0.$$よって $g$ は一定である。

(2)
$x=0$ で最大値2を取るので$$f(0)=2,f^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$$したがって$$g(x)=g(0)=4.$$(3)
これを $0$ から $1$ まで積分すると$${\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx+{\int }_0^{1}f(1-x{)}^{2}dx=4.$$置換 $u=1-x$ により2つの積分は等しいので$${\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=2.$$