東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線 $y=ax+b$ を楕円 $4x^2+y^2=4$ に代入すると $4x^2+(ax+b{)}^2=4$ である。整理して $(a^2+4)x^2+2abx+b^2-4=0$ を得る。交点が相異なる2点であるためには、この2次方程式が相異なる2つの実数解をもてばよい。判別式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(2ab{)}^2-4(a^2+4)(b^2-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16(a^2+4-b^2)}\end{array}$$であるから、$b^2<a^2+4$ が必要十分である。

次に、2つの交点の $y$ 座標を $y_1,y_2$ とする。対応する $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすれば、$y_i=a{x}_i+b$ である。解と係数の関係より $$x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{2ab}{a^2+4}},x_1{x}_2={\displaystyle \frac{b^2-4}{a^2+4}}$$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_1+y_2}& {\displaystyle =a(x_1+x_2)+2b={\displaystyle \frac{8b}{a^2+4}},}\\ {\displaystyle y_1{y}_2}& {\displaystyle =(a{x}_1+b)(a{x}_2+b)={\displaystyle \frac{4(b^2-a^2)}{a^2+4}}\mathrm{.}}\end{array}$$2つの $y$ 座標がともに正であるためには $$y_1+y_2>0,y_1{y}_2>0$$ が必要十分である。分母は正なので、これは $b>0,b^2>a^2$ と同値である。

以上を合わせると、求める範囲は $$b>0,a^2<b^2<a^2+4$$ である。$b>0$ と $b^2>a^2$ から $b>\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ であるから、$ab$ 平面では $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<b<\sqrt{a^2+4}$$ で表される開いた領域である。境界 $b=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ および $$b=\sqrt{a^2+4}$$ は含まれない。

楕円を $x=\cos t,y=2\sin t$ と表し、直線を $y-ax=b$ という高さ関数の等位線として見る。楕円を2点で切る条件はこの関数の最大・最小から求め、2交点が上半平面にある条件は直線が楕円内部の $x$ 軸を横切らないことから決める。

楕円は$$x=\cos t,y=2\sin t$$と表せる。直線上では $y-ax=b$ であり、楕円上の量$$y-ax=2\sin t-a\cos t$$の最大値と最小値は、それぞれ $\sqrt{a^2+4}$ と
$-\sqrt{a^2+4}$ である。したがって直線が楕円を相異なる2点で切る条件は$$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<\sqrt{a^2+4}$$である。

次に、楕円の内部で $x$ 軸上にある点は $(-1,0)$ から $(1,0)$ までである。直線と $x$ 軸との交点がこの線分上にあれば、楕円内の弦は $x$ 軸を横切るので、両端の $y$ 座標がともに正にはならない。直線 $y=ax+b$ がこの線分上でとる値は $b-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ 以上 $b+\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ 以下であるから、弦全体が上半平面にあるための条件は$$b-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>0,$$すなわち $b>\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。この条件から $b>0$ も従う。

以上より$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<b<\sqrt{a^2+4}$$である。2本の境界はどちらも含まない。