東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

角 $A,B,C$ の対辺の長さをそれぞれ $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。正弦定理より$${\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}}={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=r,{\displaystyle \frac{\sin C}{\sin B}}={\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }}=r$$である。したがって、辺の比を $$\alpha :\beta :\gamma =1:r:r^2$$ とおける。以下、$\alpha =1$, $\beta =r$, $\gamma =r^2$ として計算する。

余弦定理より$$\cos A={\displaystyle \frac{{\beta }^2+{\gamma }^2-{\alpha }^2}{2\beta \gamma }}={\displaystyle \frac{r^2+r^4-1}{2r^3}}$$である。同様に$$\cos B={\displaystyle \frac{{\gamma }^2+{\alpha }^2-{\beta }^2}{2\gamma \alpha }}={\displaystyle \frac{r^4+1-r^2}{2r^2}}$$であり、$$\cos C={\displaystyle \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2}{2\alpha \beta }}={\displaystyle \frac{1+r^2-r^4}{2r}}$$である。

(1)
上の式を代入すると$$r^3\cos A={\displaystyle \frac{r^4+r^2-1}{2}},r^2\cos B={\displaystyle \frac{r^4-r^2+1}{2}},r\cos C={\displaystyle \frac{1+r^2-r^4}{2}}$$である。これらを加えると $$r^3\cos A+r^2\cos B+r\cos C={\displaystyle \frac{r^4+r^2+1}{2}}$$ となる。

(2)
求める値は$$\cos A={\displaystyle \frac{r^4+r^2-1}{2r^3}},\cos B={\displaystyle \frac{r^4-r^2+1}{2r^2}},\cos C={\displaystyle \frac{1+r^2-r^4}{2r}}$$である。実際に三角形が存在する $r$ の範囲では、辺 $1,r,r^2$ が三角不等式を満たしており、上の余弦定理の式がそのまま対応する。

三角形の存在条件は辺比 $1:r:r^2$ の三角不等式から$${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}<r<{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$であり、問題で存在が仮定されているため上の式はこの範囲で用いる。

正弦定理を使わず、A+B+C=πの正弦加法定理からcosA, cosB, cosCの連立一次方程式を作って解く。

条件から$$\sin B=r\sin A,\sin C=r^2\sin A\mathrm{.}$$$A+B+C=\pi$ を三通りに使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin C}& {\displaystyle =\sin (A+B),}\\ {\displaystyle \sin A}& {\displaystyle =\sin (B+C),}\\ {\displaystyle \sin B}& {\displaystyle =\sin (C+A)\mathrm{.}}\end{array}$$$\sin A>0$ で割り、条件を代入して$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle r\cos A+\cos B}& {\displaystyle =r^2,}\\ {\displaystyle r^2\cos B+r\cos C}& {\displaystyle =1,}\\ {\displaystyle r^2\cos A+\cos C}& {\displaystyle =r\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$この連立一次方程式を解くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos A}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r^4+r^2-1}{2r^3}},}\\ {\displaystyle \cos B}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r^4-r^2+1}{2r^2}},}\\ {\displaystyle \cos C}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+r^2-r^4}{2r}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが (2) の答えである。

(1)

上の三式を代入して$$r^3\cos A+r^2\cos B+r\cos C={\displaystyle \frac{r^4+r^2+1}{2}}\mathrm{.}$$なお三角形の存在から辺比 $1:r:r^2$ が三角不等式を満たし、$${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}<r<{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$である。