東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

原点から方向ベクトル $(3,2,1)$ に進む光線は $$(x,y,z)=t(3,2,1)(t\geqq 0)$$ と表せる。球の中心を $M=(7,6,4)$ とすると、球との交点は $\mathrm{\mid }t(3,2,1)-M{\mathrm{\mid }}^2=9$ を満たす。すなわち $$(3t-7{)}^2+(2t-6{)}^2+(t-4{)}^2=9$$ である。整理すると $14t^2-74t+92=0$ であり、$7t^2-37t+46=0$ となる。よって $$t=2,t={\displaystyle \frac{23}{7}}$$ である。最初に球面に当たるのは $t=2$ の点なので、反射点は $R=(6,4,2)$ である。

反射点における法線方向は $R-M=(-1,-2,-2)$ である。これを $\vec{n}$ とおき、入射方向を $\vec{d}=(3,2,1)$ とおくと $$\vec{d}\cdot \vec{n}=-9,\vec{n}\cdot \vec{n}=9$$ である。反射後の方向 ${\vec{d}}^{\mathrm{\prime }}$ は、法線方向成分を反転させたものだから$${\vec{d}}^{\mathrm{\prime }}=\vec{d}-2{\displaystyle \frac{\vec{d}\cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}}}\vec{n}=(3,2,1)-2{\displaystyle \frac{-9}{9}}(-1,-2,-2)=(1,-2,-3)$$である。

したがって反射後の光線は $$(x,y,z)=(6,4,2)+u(1,-2,-3)(u\geqq 0)$$ である。$xy$ 平面との交点では $z=0$ だから $$2-3u=0,u={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。よって交点は$$(6+{\displaystyle \frac{2}{3}},4-{\displaystyle \frac{4}{3}},0)=({\displaystyle \frac{20}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}},0)$$である。

反射点を求めた後、反射方向は入射方向に法線方向のベクトルを加えた形になると置く。法線方向成分の符号が反転する条件から係数を1本の内積方程式で決める。

入射光線を$$(x,y,z)=t(3,2,1)(t\geqq 0)$$とおく。球の方程式へ代入すると$$7t^2-37t+46=0,$$よって$$t=2,t={\displaystyle \frac{23}{7}}\mathrm{.}$$先に到達する $t=2$ を採用し、反射点は$$R=(6,4,2)$$である。

球の中心を $M=(7,6,4)$ とし、$$\mathit{n}=\overrightarrow{MR}=(-1,-2,-2),\mathit{d}=(3,2,1)$$とする。反射の前後で接平面に平行な成分は変わらないので、反射後の方向は$$\mathit{v}=\mathit{d}+\lambda \mathit{n}$$と書ける。法線方向成分は符号だけが反転するから$$\mathit{v}\cdot \mathit{n}=-\mathit{d}\cdot \mathit{n}\mathrm{.}$$$$\mathit{d}\cdot \mathit{n}=-9$$、$$\mathit{n}\cdot \mathit{n}=9$$ より$$-9+9\lambda =9,$$したがって $\lambda =2$ である。よって$$\mathit{v}=(1,-2,-3)\mathrm{.}$$反射後の光線は$$(x,y,z)=(6,4,2)+u(1,-2,-3)(u\geqq 0)\mathrm{.}$$$z=0$ より $u=2\mathrm{/}3$ なので、$xy$ 平面との交点は$$({\displaystyle \frac{20}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}},0)\mathrm{.}$$