東北大 1996年度文系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

まず $A C = C A$ を成分比較して、 $y = x$ 、 $z = x + 2$ に絞る。その後、 $A^{2}$ を計算して $A^{2} B = B A^{2}$ を成分比較する。一般の2次正方行列 $M$ について $M B = B M$ となる条件を先に見ると、 $A^{2}$ の右上成分が0、対角成分が等しいことに帰着できる。

解答

まず $A C$ と $C A$ を計算する。 $A C = (\begin{array}{cc} x & 2 + x \\ z & y + z \end{array}), C A = (\begin{array}{cc} y & z \\ 2 + y & x + z \end{array})$ である。したがって $A C = C A$ より $x = y, z = x + 2$ を得る。

よって $A = (\begin{array}{cc} 2 & x \\ x & x + 2 \end{array})$ としてよい。このとき $A^{2} = (\begin{array}{cc} 4 + x^{2} & x^{2} + 4 x \\ x^{2} + 4 x & 2 x^{2} + 4 x + 4 \end{array})$ である。

ここで一般に $M = (\begin{array}{cc} u & v \\ w & q \end{array})$ とおくと、 $M B = (\begin{array}{cc} u + 2 v & v \\ w + 2 q & q \end{array}), B M = (\begin{array}{cc} u & v \\ 2 u + w & 2 v + q \end{array})$ である。したがって $M B = B M$ となるには $v = 0, q = u$ が必要十分である。

これを $M = A^{2}$ に適用すると $x^{2} + 4 x = 0$ である。すなわち $x (x + 4) = 0$ だから、 $x = 0 または x = - 4$ である。 $y = x$ 、 $z = x + 2$ より、求める値は $(x, y, z) = (0, 0, 2), (x, y, z) = (- 4, - 4, - 2)$ である。

別解

解法2

方針

$A C = C A$ を、 $A$ が $E$ と $C$ の一次結合になる条件として捉える。関係 $C^{2} = C + E$ を使えば $A^{2}$ も同じ形に整理でき、 $B$ との可換条件が1本の因数方程式になる。

解答

$A C = C A$ を成分比較すると $A = (\begin{array}{cc} 2 & x \\ x & x + 2 \end{array}) = 2 E + x C$ となる。ここで $C^{2} = C + E$ であるから $\begin{aligned} A^{2} & = (2 E + x C)^{2} \\ = 4 E + 4 x C + x^{2} C^{2} \\ = (4 + x^{2}) E + (4 x + x^{2}) C . \end{aligned}$ $E$ はすべての行列と可換なので、条件 $A^{2} B = B A^{2}$ は $(4 x + x^{2}) (C B - B C) = O$ と同値である。実際に $C B - B C = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 2 & - 2 \end{array}) \neq O$ だから $x^{2} + 4 x = 0.$ したがって $x = 0 または x = - 4.$ $y = x, z = x + 2$ なので $(x, y, z) = (0, 0, 2), (- 4, - 4, - 2) .$

総評

難度5、計算量5。先に $A C = C A$ で未知数を1つに絞ると計算が安定する。解は $x = 0, - 4$ の2組あり、どちらも元の2つの行列方程式へ代入して確認できる。 2解法の最終値を照合し、境界条件・符号・定義域も確認した。

出典: 東北大学 1996年度後期日程文系第2問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 1996年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第2問