東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

行列 $A$ の第1列、第2列をそれぞれ $\vec{u},\vec{v}$ とする。円 $C_1$ は $$(x,y)=(2,0)+(X,Y),X^2+Y^2=1$$ と表せる。したがってその像は $$A(2,0)+A(X,Y)=2\vec{u}+X\vec{u}+Y\vec{v}$$ である。

像が円 $C_2:x^2+(y-t{)}^2=4$ に一致するので、中心は $(0,t)$ であり、半径は $2$ である。まず中心について $2\vec{u}=(0,t)$ である。

また、単位円 $X^2+Y^2=1$ の像 $X\vec{u}+Y\vec{v}$ が原点中心の半径2の円になるためには、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ が互いに垂直で、どちらも長さ $2$ でなければならない。よって $\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=2$ である。$2\vec{u}=(0,t)$、$t>0$ より $$\vec{u}=(0,2),t=4$$ となる。

第2列 $\vec{v}$ は $(0,2)$ に垂直で、長さが $2$ であるから $$\vec{v}=(2,0)\text{または}\vec{v}=(-2,0)$$ である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$$であり、いずれの場合も $t=4$ である。

円が円へ移る条件を $A^{\mathsf{T}}A=4E$ と行列式で表す。中心の像から第1列を決め、列の長さと直交条件から第2列を決める。

$$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$$とする。半径1の円が半径2の円へ移るための条件は、任意のベクトル $\mathit{u}$ に対して$$\mathrm{\mid }A\mathit{u}\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }$$となることである。したがって$$A^{\mathsf{T}}A=4E\mathrm{.}$$$C_1$ の中心 $(2,0)$ の像が $C_2$ の中心 $(0,t)$ だから$$A\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって $p=0,2r=t$ である。第1列の長さは2なので$$r^2=4.$$$t>0$ より $r=2$、したがって$$t=4.$$2列が直交することから $2s=0$、よって $s=0$ である。第2列の長さも2なので $q=\pm 2$。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right)\text{または}A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right),t=4\mathrm{.}$$