東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(i) $A-tE$ の逆行列が存在しない条件は $\det (A-tE)=0$ である。行列 $A$ の各行の成分の和は $${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1,{\cos }^{2}2\theta +{\sin }^{2}2\theta =1$$ であるから、$t=1$ のとき $A-E$ の各行の和は $0$ となり、逆行列をもたない。

また $\det (A-tE)$ は $t$ についての2次式で、$t^2$ の係数は $1$ である。2つの解の積は $\det A$ だから、もう一つの解を $t_2$ とすると $1\cdot t_2=\det A$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t_2}& {\displaystyle ={\cos }^2\theta {\sin }^{2}2\theta -{\sin }^2\theta {\cos }^{2}2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^2\theta (1-{\cos }^{2}2\theta )-(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^{2}2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$よって求める $t$ は $$t=1,t={\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta$$ である。

(ii) $t=1$ は常に正である。したがって、もう一つの値が正である条件を調べればよい。$${\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta =(\cos \theta -\cos 2\theta )(\cos \theta +\cos 2\theta )$$である。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ では $\cos \theta >0$ であり、$$\cos \theta -\cos 2\theta >0$$ が成り立つ。よって必要十分条件は $$\cos \theta +\cos 2\theta >0$$ である。 $c=\cos \theta$ とおくと、$0<c<1$ であり、$\cos 2\theta =2c^2-1$ だから $$\cos \theta +\cos 2\theta =2c^2+c-1=(2c-1)(c+1)\mathrm{.}$$ $c+1>0$ なので、条件は $2c-1>0$ すなわち $\cos \theta >{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

行列式を $t$ の2次式として直接展開する。三角関数の基本関係で係数を整理すると直ちに因数分解でき、2つの $t$ と正値条件が同時に見える。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \det (A-tE)}& {\displaystyle =({\cos }^2\theta -t)({\sin }^{2}2\theta -t)-{\sin }^2\theta {\cos }^{2}2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2-({\cos }^2\theta +{\sin }^{2}2\theta )t+{\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\cos }^2\theta +{\sin }^{2}2\theta =1+{\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta$$だから$$\det (A-tE)=(t-1)\{t-({\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta )\}\mathrm{.}$$よって$$t=1,t={\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta \mathrm{.}$$両方が正であるためには、後者が正であればよい。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta }& {\displaystyle =(\cos \theta -\cos 2\theta )(\cos \theta +\cos 2\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ では$$\cos \theta -\cos 2\theta >0$$ なので、$$\cos \theta +\cos 2\theta >0.$$$c=\cos \theta$ とおくと$$2c^2+c-1=(2c-1)(c+1)>0.$$$0<c<1$ より $c>1\mathrm{/}2$ であり、$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$