東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$x(x-1)-(x-1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$ である。したがって直線$y=x-1$は、$x=1$で放物線$y=x(x-1)$に接する。

また、$$x^2-3x+3-(x-1)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$$ であるから、直線$y=x-1$は、$x=2$で放物線$y=x^2-3x+3$に接する。

(2)
2つの放物線の交点は $x(x-1)=x^2-3x+3$ より $2x=3,x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。 $1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$では$x(x-1)$が下側、${\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 2$では$x^2-3x+3$が下側になる。よって求める面積は $${\int }_1^{3\mathrm{/}2}\{x(x-1)-(x-1)\}dx+{\int }_{3\mathrm{/}2}^2\{x^2-3x+3-(x-1)\}dx$$ である。平方の形を用いると $${\int }_1^{3\mathrm{/}2}(x-1{)}^{2}dx+{\int }_{3\mathrm{/}2}^2(x-2{)}^{2}dx$$ となる。したがって$${\int }_1^{3\mathrm{/}2}(x-1{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{24}},{\int }_{3\mathrm{/}2}^2(x-2{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{24}}$$であるから、面積は $${\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{24}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$$ である。

直線から各放物線までの鉛直距離が、それぞれ $(x-1{)}^2$、$(x-2{)}^2$ になることを使う。2つの小領域は $x=3\mathrm{/}2$ に関して対称なので、一方の積分を2倍する。

(1) $$x(x-1)-(x-1)=(x-1{)}^2$$より、$x=1$ で値と傾きが一致する。同様に$$x^2-3x+3-(x-1)=(x-2{)}^2$$より、$x=2$ で値と傾きが一致する。したがって直線は両放物線に接する。

(2)

2放物線の交点は$$x^2-x=x^2-3x+3$$から $x=3\mathrm{/}2$。囲まれた2つの部分は変換 $x\mapsto 3-x$ で移り合い、面積が等しい。よって$$S=2{\int }_1^{3\mathrm{/}2}(x-1{)}^{2}dx=2{\left[{\displaystyle \frac{(x-1{)}^3}{3}}\right]}_1^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}$$