東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $${\log }_{2}32=5,{\log }_{3}9=2,{\log }_{4}64=3$$ である。したがって$\sin \theta$は $5x^2+2x-3=0$ の解である。因数分解すると $5x^2+2x-3=(5x-3)(x+1)$ なので $x={\displaystyle \frac{3}{5}},x=-1$ を得る。$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$より $\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。したがって $$\cos \theta =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{9}{25}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$ である。

(2) $$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{16}{25}}-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{7}{25}}$$であり、$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$$である。加法定理より$$\cos (2\theta +{60}^{\circ })=\cos 2\theta \cos {60}^{\circ }-\sin 2\theta \sin {60}^{\circ }$$だから$$\cos (2\theta +{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{7}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{24}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{7}{50}}-{\displaystyle \frac{12\sqrt{3}}{25}}$$である。

対数を計算して $\sin \theta$ を決める。複素数 $(4+3i)\mathrm{/}5$ を2乗して $2\theta$ の三角比を同時に求め、さらに ${60}^{\circ }$ 回転させた複素数の実部を読む。

(1) $${\log }_{2}32=5,{\log }_{3}9=2,{\log }_{4}64=3$$だから、$\sin \theta$ は$$5x^2+2x-3=(5x-3)(x+1)=0$$の解である。$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ より$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$(2)$$\cos \theta +i\sin \theta ={\displaystyle \frac{4+3i}{5}}$$を2乗すると$$\cos 2\theta +i\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{(4+3i{)}^2}{25}}={\displaystyle \frac{7}{25}}+{\displaystyle \frac{24}{25}}i\mathrm{.}$$さらに ${60}^{\circ }$ の回転を掛けた複素数の実部を取れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos (2\theta +{60}^{\circ })}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{24}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{50}}-{\displaystyle \frac{12\sqrt{3}}{25}}\mathrm{.}}\end{array}$$