東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) $0<a<1$であり、$$f(x)=x\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}x(a-x)& (x<a),\\ x(x-a)& (x\geqq a)\end{array}$$である。$x<a$では$f(x)=-x^2+ax$で、上に凸の放物線である。$x\geqq a$では$f(x)=x^2-ax$で、下に凸の放物線である。グラフは$x=0$と$x=a$で$x$軸と交わり、$x=a$で折れ曲がる。

(2)
積分区間を$a$で分けると $$g(a)={\int }_0^{a}x(a-x)dx+{\int }_a^{1}x(x-a)dx$$ である。第1項は $${\int }_0^a(ax-x^2)dx={\displaystyle \frac{a^3}{6}}$$ である。第2項は$${\int }_a^1(x^2-ax)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2]}_a^1={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{6}}$$である。したがって $$g(a)={\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2a^3-3a+2}{6}}$$ である。

微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(a)=a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}},g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=2a$$ である。$0<a<1$では$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)>0$なので、$g^{\mathrm{\prime }}(a)=0$となる点で最小値をとる。よって $$a^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ より $a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。

絶対値を $x=a$ で外してグラフを描く。積分値の最小化では積分を先に展開せず、動く境界を含む積分を直接微分して $g^{\mathrm{\prime }}(a)$ を簡潔に求める。

(1) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(a-x),& x<a,\\ x(x-a),& x\geqq a\mathrm{.}\end{array}$$従って $x<a$ では下向き、$x\geqq a$ では上向きの放物線であり、$x=0,a$ で $x$ 軸と交わる。$x=a$ では左右の式が連続につながるが、傾きは異なる。

(2) $$g(a)={\int }_0^{a}x(a-x)dx+{\int }_a^{1}x(x-a)dx$$と書く。積分区間の端 $x=a$ では両被積分関数が0なので、微分したときの境界項は消える。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{a}xdx-{\int }_a^{1}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1-a^2}{2}}=a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<a<1$ では $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=2a>0$ だから、唯一の停留点$$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$で最小となる。なお積分を実行すれば$$g(a)={\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$であり、同じ結論を確認できる。