東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
1回倒すと印は必ず側面にくる。2回目に、印の面を底面または上面にする辺は2本、側面のままにする辺は2本である。よって $a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2)
印が側面にあるとき、次に側面でなくなる確率は$1\mathrm{/}2$である。印が上面または底面にあるとき、次は必ず側面にくる。したがって $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+(1-a_n)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$$ である。

(3) $a_1=1$であるから、(2)より $$a_n={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$ である。$n\geqq 2$では、底面にくるには直前に側面にあり、かつその面を下に倒す1本を選ぶ必要があるので $$b_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-2}$$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

(3) ではまず漸化式 $$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}})$$ と変形する。$a_1=1$ なので $$a_n={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$ である。

底面に来るには，直前に印の面が側面にあり，その側面を下にする1本の辺を選ぶ必要がある。側面にあるとき，4本の候補のうち底面に移すものは1本なので $$b_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_{n-1}(n\geqq 2)$$ である。したがって $$b_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-2}(n\geqq 2)$$ で，$b_1=0$ である。よって極限は $1\mathrm{/}6$ となる。

上面・側面・底面の確率を3成分で持つ状態遷移として書く。遷移行列から側面確率の漸化式と底面確率を同時に読み取る。

操作 $n$ 回後に印が上面、側面、底面にある確率をそれぞれ$$u_n,a_n,b_n$$とする。側面からは、4本の軸のうち1本ずつで上面・底面へ移り、2本では側面に残る。上面・底面からは必ず側面へ移る。したがって$$\begin{array}{cccc}& \left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ a_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1\mathrm{/}4& 0\\ 1& 1\mathrm{/}2& 1\\ 0& 1\mathrm{/}4& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ a_n\\ b_n\end{array}\right)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$初期状態は $(u_0,a_0,b_0)=(1,0,0)$ である。

(1)

(1) から $a_1=1$、$a_2=1\mathrm{/}2$ である。

(2)

$u_n+a_n+b_n=1$ より$$a_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+b_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n\mathrm{.}$$(3)$$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}})$$と $a_1=1$ から$$a_n={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}$$(1)の第3行より $$b_n=a_{n-1}\mathrm{/}4(n\geqq 2)$$ だから$$b_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-2},b_1=0.$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$