東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
線分 $PQ$ 上の点を $(1-\lambda )P+\lambda Q$ と表す。$y$ 座標は $$(1-\lambda )(-1)+\lambda \cdot 1=-1+2\lambda$$ である。これが $u$ に等しいので $$\lambda ={\displaystyle \frac{1+u}{2}}$$ である。したがって $x$ 座標は $$x=(1-\lambda )(-t)+\lambda t=(2\lambda -1)t=ut$$ となる。$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 1$ より $-u\leqq x\leqq u$ である。

(2)
(1)と同じ $\lambda =(1+u)\mathrm{/}2$ を用いると、$z$ 座標は$$z={\displaystyle \frac{1-u}{2}}(t^2-1)+{\displaystyle \frac{1+u}{2}}({\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}-{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}})$$である。$x=ut$ だから $t=x\mathrm{/}u$ であり、$$z={\displaystyle \frac{1-u}{2}}\{{\left({\displaystyle \frac{x}{u}}\right)}^2-1\}+{\displaystyle \frac{1+u}{2}}\{{\displaystyle \frac{e^{x\mathrm{/}u}+e^{-x\mathrm{/}u}}{2}}-{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}}\}$$である。

(3) $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 1$ では $t^2-1\leqq 0$ であり、また $e^t+e^{-t}$ は $[-1,1]$ で最大値を端点 $t=\pm 1$ でとる。したがって(2)の $z$ は0以下であり、平面 $z=0$ との間の高さは $-z$ である。

固定した $u$ における断面積を $S(u)$ とすると、$$S(u)={\int }_{-u}^u(-z)dx$$ である。ここで $x=ut$ と戻すと $dx=udt$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(u)}& {\displaystyle =u{\int }_{-1}^1[{\displaystyle \frac{1-u}{2}}(1-t^2)+{\displaystyle \frac{1+u}{2}}\{{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\}]dt\mathrm{.}}\end{array}$$必要な積分は $${\int }_{-1}^1(1-t^2)dt={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ および$${\int }_{-1}^1\{{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\}dt=(e+e^{-1})-(e-e^{-1})={\displaystyle \frac{2}{e}}$$である。よって $$S(u)=u\{{\displaystyle \frac{2(1-u)}{3}}+{\displaystyle \frac{1+u}{e}}\}$$ となる。

求める体積は $V={\int }_0^{1}S(u)du$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{{\displaystyle \frac{2u(1-u)}{3}}+{\displaystyle \frac{u(1+u)}{e}}\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{9}})+({\displaystyle \frac{1}{2e}}+{\displaystyle \frac{1}{3e}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{6e}}}\end{array}$$である。

掃過面を(u,t)で直接媒介表示し、x=utのヤコビアンuを使って体積を二重積分する。多項式部分と指数部分を分離して評価する。

$y=u$ における線分上の点は、$P,Q$ の内分比から$$x=ut,$$$$z={\displaystyle \frac{1-u}{2}}(t^2-1)+{\displaystyle \frac{1+u}{2}}({\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}-{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}})\mathrm{.}$$したがって $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 1$ より $-u\leqq x\leqq u$ であり、$t=x\mathrm{/}u$ とすれば (1), (2) の式を得る。

(3) $$0\leqq u\leqq 1,\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 1$$ で $z\leqq 0$ である。写像 $x=ut$ では$$dx=udt\mathrm{.}$$よって体積は直接$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\int }_{-1}^1(-z)udtdu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{1}u[{\displaystyle \frac{1-u}{2}}{\int }_{-1}^1(1-t^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{1+u}{2}}{\int }_{-1}^1\{{\displaystyle \frac{e+e^{-1}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\}dt]du\mathrm{.}}\end{array}$$二つの $t$ 積分はそれぞれ$${\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{2}{e}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{{\displaystyle \frac{2u(1-u)}{3}}+{\displaystyle \frac{u(1+u)}{e}}\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{6e}}\mathrm{.}}\end{array}$$