東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)
定義域は$x\geqq -2$である。微分すると $$y^{\mathrm{\prime }}=1-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+2}}}$$ である。$y^{\mathrm{\prime }}=0$より $$\sqrt{x+2}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ だから $x=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ である。$-2<x<-{\displaystyle \frac{7}{4}}$では$y^{\mathrm{\prime }}<0$、$x>-{\displaystyle \frac{7}{4}}$では$y^{\mathrm{\prime }}>0$なので、この点で最小値をとる。値は $$-{\displaystyle \frac{7}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$$ である。 $y$軸との交点は$x=0$より $(0,-\sqrt{2})$ である。$x$軸との交点は $$x-\sqrt{x+2}=0$$ より$$x=\sqrt{x+2}$$である。右辺は0以上なので$x\geqq 0$であり、平方して $x^2=x+2$ すなわち $(x-2)(x+1)=0$ である。$x\geqq 0$より$x=2$なので、交点は $(2,0)$ である。端点では$(-2,-2)$を通り、グラフはそこで始まり、いったん減少してから増加し、$(2,0)$で$x$軸に達する。

(2)
囲まれる部分は$-2\leqq x\leqq 2$にあり、この範囲でグラフは$x$軸の下側にある。回転体の体積は $$V=\pi {\int }_{-2}^2{(x-\sqrt{x+2})}^{2}dx$$ である。展開すると $${(x-\sqrt{x+2})}^2=x^2+x+2-2x\sqrt{x+2}$$ であるから $$V=\pi {\int }_{-2}^2\{x^2+x+2-2x\sqrt{x+2}\}dx$$ である。

まず $${\int }_{-2}^2(x^2+x+2)dx={\displaystyle \frac{40}{3}}$$ である。次に、$u=x+2$とおくと $${\int }_{-2}^{2}2x\sqrt{x+2}dx={\int }_0^{4}2(u-2)u^{1\mathrm{/}2}du$$ であり、$${\int }_0^4(2u^{3\mathrm{/}2}-4u^{1\mathrm{/}2})du={[{\displaystyle \frac{4}{5}}{u}^{5\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{8}{3}}{u}^{3\mathrm{/}2}]}_0^4={\displaystyle \frac{64}{15}}$$である。

したがって$${\int }_{-2}^2{(x-\sqrt{x+2})}^{2}dx={\displaystyle \frac{40}{3}}-{\displaystyle \frac{64}{15}}={\displaystyle \frac{136}{15}}$$である。よって $$V={\displaystyle \frac{136\pi }{15}}$$ である。

$u=\sqrt{x+2}$ と置き、曲線を $x=u^2-2$、$y=(u-2)(u+1)$ と媒介表示する。極値も回転体積も多項式だけで処理する。

$$u=\sqrt{x+2}(u\geqq 0)$$とおくと$$x=u^2-2,y=u^2-u-2=(u-2)(u+1)\mathrm{.}$$(1)$$y={(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$$だから、$u=1\mathrm{/}2$、すなわち $x=-7\mathrm{/}4$ で最小値 $-9\mathrm{/}4$ をとる。$y$ 軸との交点は $x=0$ から$$(0,-\sqrt{2}),$$$x$ 軸との交点は $u=2$ から$$(2,0)\mathrm{.}$$端点 $(-2,-2)$ からいったん減少し、その後増加する概形となる。

(2)

斜線部は $-2\leqq x\leqq 2$ で $y\leqq 0$ の部分である。$dx=2udu$ だから、$x$ 軸まわりの回転体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-2}^2{(x-\sqrt{x+2})}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^2(u^2-u-2{)}^{2}2udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{136\pi }{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$