東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ を微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$$ である。$x^2>0$より、符号は$1-\log x$で決まる。したがって $$0<x<e\text{で増加},x>e\text{で減少}$$ である。よって$x=e$で極大値 $f(e)={\displaystyle \frac{1}{e}}$ をとる。

また、$x$軸との交点は $f(x)=0$ すなわち$\log x=0$より $x=1$ である。さらに$x\to +0$で$f(x)\to -\mathrm{\infty }$、$x\to \mathrm{\infty }$で$f(x)\to 0$である。したがって、グラフは$x=1$で$x$軸を横切り、$x=e$で極大値$1\mathrm{/}e$をとった後、正のまま$x$軸に近づく。

(2) $a>0$, $x>0$なので、対数をとると $a^x\geqq x^a$ は $x\log a\geqq a\log x$ と同値である。$ax>0$で割ると $${\displaystyle \frac{\log a}{a}}\geqq {\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ すなわち $f(a)\geqq f(x)$ となる。

これが任意の$x\geqq a$で成り立つには、$[a,\mathrm{\infty })$において$f$が左端$x=a$で最大になればよい。(1)より$f$は$e$まで増加し、その後減少する。したがって$a\geqq e$なら条件を満たす。

一方、$a<e$なら$x=e$は$x\geqq a$を満たし、しかも$f(e)>f(a)$であるから条件を満たさない。よって求める範囲は $a\geqq e$ である。

(1) は通常どおり増減を調べる。(2)では $\mathrm{\Phi }(x)=x\log a-a\log x$ を直接微分し、$x=a$ から先で常に非負となる条件を判定する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}\mathrm{.}$$よって $0<x<e$ で増加、$x>e$ で減少し、$$x=e\text{ で極大値 }{\displaystyle \frac{1}{e}}\mathrm{.}$$$f(x)=0$ は $x=1$。また$$\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$$であり、これらから概形が定まる。

(2) $$\mathrm{\Phi }(x)=x\log a-a\log x$$とおく。条件 $a^x\geqq x^a$ は $\mathrm{\Phi }(x)\geqq 0$ と同値で、$\mathrm{\Phi }(a)=0$ である。$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=\log a-{\displaystyle \frac{a}{x}}\mathrm{.}$$$a\geqq e$ なら $x\geqq a$ に対して$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq \log a-1\geqq 0,$$したがって $\mathrm{\Phi }(x)\geqq \mathrm{\Phi }(a)=0$。

一方 $a<e$ なら$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(a)=\log a-1<0$$なので、$a$ のすぐ右で $\mathrm{\Phi }(x)<0$ となる。よって必要十分な範囲は$$a\geqq e\mathrm{.}$$