東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

共有点は $x^2+k=\mathrm{\mid }x(x^2-1)\mathrm{\mid }$ を満たす実数 $x$ の個数である。したがって $k=\mathrm{\mid }x(x^2-1)\mathrm{\mid }-x^2$ とおき、この関数の水平線との交点数を数えればよい。 $x(x^2-1)$ の符号により、次の4区間に分ける。$$\mathrm{\mid }x(x^2-1)\mathrm{\mid }-x^2=\{\begin{array}{ll}-x^3-x^2+x,& x\leqq -1,\\ x^3-x^2-x,& -1\leqq x\leqq 0,\\ -x^3-x^2+x,& 0\leqq x\leqq 1,\\ x^3-x^2-x,& x\geqq 1.\end{array}$$外側の区間 $x\leqq -1$, $x\geqq 1$ では、それぞれ端点で値 $-1$ をとり、外へ向かうと値は大きくなる。したがって $k=-1$ で各端点に1個、$k>-1$ で外側に合計2個の交点がある。

内側の区間を調べる。$-1\leqq x\leqq 0$ では $h_1(x)=x^3-x^2-x$ であり、$$h_1^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$$ だから、$x=-1\mathrm{/}3$ で最大値をとる。その値は $$h_1(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{5}{27}}$$ である。また端点では $h_1(-1)=-1$, $h_1(0)=0$ である。$0\leqq x\leqq 1$ でも同様に $h_2(x)=-x^3-x^2+x$ が $x=1\mathrm{/}3$ で最大値 $5\mathrm{/}27$ をとり、端点では $h_2(0)=0$, $h_2(1)=-1$ である。

以上を合わせると、共有点の個数は次の通りである。$$\begin{array}{cc}k\text{の範囲}& \text{共有点の個数}\\ k<-1& 0\\ k=-1& 2\\ -1<k<0& 4\\ k=0& 5\\ 0<k<{\displaystyle \frac{5}{27}}& 6\\ k={\displaystyle \frac{5}{27}}& 4\\ k>{\displaystyle \frac{5}{27}}& 2\end{array}$$ $k=0$ で5個になるのは、$x=0$ が左右の内側区間の共通端点として1回だけ数えられるためである。

関数が偶関数であることを先に使い、u=|x|で半分だけ調べる。0≤u≤1とu≥1の2本の三次式の増減から、正の解を2倍し原点だけ1回数える。

共有点の条件を$$k=H(x):=\mathrm{\mid }x(x^2-1)\mathrm{\mid }-x^2$$と書く。$H$ は偶関数なので $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 0$ だけ調べればよい。$$H=\{\begin{array}{ll}u-u^2-u^3& (0\leqq u\leqq 1),\\ u^3-u^2-u& (u\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$内側では$${\displaystyle \frac{dH}{du}}=1-2u-3u^2$$だから $u=1\mathrm{/}3$ で最大値 $5\mathrm{/}27$ を取る。また$$H(0)=0,H(1)=-1.$$外側では $u=1$ から単調増加して $-1$ から無限大まで動く。

正の $u$ の解は $x=\pm u$ の2点を与え、$u=0$ だけは原点1点を与える。したがって共有点数は$$\begin{array}{cc}k& \text{個数}\\ k<-1& 0\\ k=-1& 2\\ -1<k<0& 4\\ k=0& 5\\ 0<k<5\mathrm{/}27& 6\\ k=5\mathrm{/}27& 4\\ k>5\mathrm{/}27& 2\end{array}$$である。