東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $A$のトレースが$-1$で、$A^2$のトレースも$-1$である。2次行列を成分で計算すると $$(\text{トレース }A{)}^2=\text{トレース }{A}^2+2\det A$$ であるから $1=-1+2\det A$ より $\det A=1$ である。したがって成分計算により $A^2+A+E=0$ となる。これに$A-E$を掛けると $A^3=E$ である。

(2) $A^2+A+E=0$より $(A+E{)}^2=A$ である。したがって $(A+E{)}^4=A^2$ である。方程式は$$A^2\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$$であり、両辺に$A$を掛けると$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -b^2-ac\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって $(x,y)=(0,-1)$ である。 $A^2+A+E=0$ を得た後の流れを補足する。この式から $(A+E{)}^2=A^2+2A+E=A$ である。したがって $(A+E{)}^4=A^2$ となる。方程式は $$A^2\mathrm{C}xy=\mathrm{C}b-a$$ である。さらに $A^3=E$ なので両辺に左から $A$ を掛ければ $$\mathrm{C}xy=A\mathrm{C}b-a$$ である。成分計算により $$A\mathrm{C}b-a=\mathrm{C}ab-ab-b^2-ac=\mathrm{C}0-(ac+b^2)\mathrm{.}$$ ここで $\det A=ac+b^2=1$ だから $$\mathrm{C}xy=\mathrm{C}0-1$$ となる。

トレースの一般公式を引用せず、与えられた成分を直接計算してa+cとac+b²を求める。そこからA²+A+E=0を成分ごとに確認し、後半を簡約する。

$A$ のトレースから$$\begin{array}{cccc}& a+c=-1.& & \text{(1)}\end{array}$$また$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-b^2& b(a+c)\\ -b(a+c)& c^2-b^2\end{array}\right)$$だから、$A^2$ のトレース条件は$$\begin{array}{cccc}& a^2+c^2-2b^2=-1.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)を二乗し、(2)を引くと$$\begin{array}{cccc}& 2ac+2b^2=2,ac+b^2=1.& & \text{(3)}\end{array}$$(1)

$A^2+A+E$ の非対角成分は $b(a+c+1)$ とその符号違いなので0である。左上成分は$$a^2-b^2+a+1=a^2+a+ac=a(a+c+1)=0$$で、右下も同様に0である。よって$$A^2+A+E=0.$$両辺に $A-E$ を掛ければ $A^3=E$ である。

(2) $$(A+E{)}^2=A,(A+E{)}^4=A^2\mathrm{.}$$したがって与式へ左から $A$ を掛けると$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -(b^2+ac)\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)より$$(x,y)=(0,-1)\mathrm{.}$$