東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
比 $\sin x\mathrm{/}\sin y$, $\cos x\mathrm{/}\cos y$ が定義されているので、$\sin y\mathrm{\ne }0$, $\cos y\mathrm{\ne }0$ である。与式から $$\sin x=a\sin y,\cos x=b\cos y$$ であり、${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ に代入すると $a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1$ となる。ここで ${\tan }^{2}y=T$ とおくと、${\sin }^{2}y=T\mathrm{/}(1+T)$, ${\cos }^{2}y=1\mathrm{/}(1+T)$ であるから $${\displaystyle \frac{a^{2}T+b^2}{1+T}}=1$$ である。したがって $(a^2-1)T=1-b^2$ より $${\tan }^{2}y={\displaystyle \frac{1-b^2}{a^2-1}}$$ を得る。

(2)
問題の条件より $a$, $b$ は $0$, $\pm 1$ でないから、上の右辺は0ではない。実数 $y$ が存在するには ${\tan }^{2}y>0$ が必要十分である。よって $${\displaystyle \frac{1-b^2}{a^2-1}}>0$$ であり、分子と分母の符号が同じになればよい。したがって$$\{\begin{array}{l}{a}^2>1,\\ b^2<1,\\ \text{または}\\ a^2<1,\\ b^2>1\end{array}$$である。すなわち求める範囲は $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }>1$$ である。

この条件が十分であることも確認しておく。右辺が正なら、その値を $T$ として ${\tan }^{2}y=T$ を満たす $y$ を取れる。このとき $a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1$ なので、$(a\sin y,b\cos y)$ は単位円上の点であり、これを $(\sin x,\cos x)$ とする実数 $x$ が存在する。

(1) は平方和からtan²yを求める。(2)は1がa²とb²の正の重み付き平均であることを使い、存在範囲を一行で判定する。

(1) $$\sin x=a\sin y,\cos x=b\cos y$$を平方して加えると$$a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1.$$$\sin y,\cos y\mathrm{\ne }0$ であり、$T={\tan }^{2}y$ と置けば$${\displaystyle \frac{a^{2}T+b^2}{1+T}}=1.$$よって$${\tan }^{2}y={\displaystyle \frac{1-b^2}{a^2-1}}\mathrm{.}$$(2)

上の平方和は$$1=a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y$$であり、${\sin }^{2}y,{\cos }^{2}y$ はともに正で和が1である。したがって $1$ は $a^2,b^2$ の間に厳密に入る。すなわち$$(a^2-1)(b^2-1)<0.$$逆にこの条件なら $1$ を $a^2,b^2$ の正の重み付き平均として表せ、その重みを ${\sin }^{2}y,{\cos }^{2}y$ とする $y$ が取れる。対応する $(a\sin y,b\cos y)$ は単位円上にあるので $x$ も存在する。

よって求める領域は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }>1$$である。