東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$2000=2^4\cdot 125=2^4(2\cdot 62+1)$$ である。番号 $N(P)=2^x(2y+1)$ では、2の指数が $x$、残った奇数部分が $2y+1$ であるから $x=4,y=62$ である。したがって求める非負格子点は $(4,62)$ である。

(2) $n=2^a(2^a+1)$ である。$2^a+1$ は奇数なので、$n$ を番号にもつ点 $A$ は $$A=(a,{\displaystyle \frac{2^a+1-1}{2}})=(a,2^{a-1})$$ である。

次に $n+1=2^{2a}+2^a+1$ であり、これは奇数である。したがって $n+1=2^0(2y+1)$ と見れば $2y+1=2^{2a}+2^a+1$ より $$B=(0,{\displaystyle \frac{2^{2a}+2^a}{2}})=(0,2^{a-1}(2^a+1))$$ である。

さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n+2}& {\displaystyle =2^a(2^a+1)+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2a}+2^a+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(2^{2a-1}+2^{a-1}+1)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $a\geqq 2$ だから、$2^{2a-1}$ と $2^{a-1}$ はともに偶数であり、$2^{2a-1}+2^{a-1}+1$ は奇数である。よって $n+2$ を番号にもつ点 $C$ は$$C=(1,{\displaystyle \frac{2^{2a-1}+2^{a-1}+1-1}{2}})=(1,2^{a-2}(2^a+1))$$である。

座標の面積公式を用いる。$A=(a,2^{a-1})$ として、$$\overrightarrow{AB}=(-a,2^{a-1}(2^a+1)-2^{a-1})=(-a,2^{2a-1}),$$$$\overrightarrow{AC}=(1-a,2^{a-2}(2^a+1)-2^{a-1})=(1-a,2^{a-2}(2^a-1))\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2[ABC]}& {\displaystyle =\mid (-a)2^{a-2}(2^a-1)-2^{2a-1}(1-a)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{a-2}\mid -a(2^a-1)-2^{a+1}(1-a)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{a-2}\{a(2^a+1)-2^{a+1}\}\mathrm{.}}\end{array}$$ $a\geqq 2$ では波括弧内は正であるから、求める面積は $$[ABC]=2^{a-3}\{a(2^a+1)-2^{a+1}\}$$ である。

番号の2進付値が横座標、残る奇数部分が縦座標を決める。(2)は3整数の2進分解後、行列式で面積を一度に求める。

(1) $$2000=2^4\cdot 125=2^4(2\cdot 62+1)$$だから$$P=(4,62)\mathrm{.}$$(2)

$n=2^a(2^a+1)$ で $a\geqq 2$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n}& {\displaystyle =2^a\{2(2^{a-1})+1\},}\\ {\displaystyle n+1}& {\displaystyle =2\{2^{a-1}(2^a+1)\}+1,}\\ {\displaystyle n+2}& {\displaystyle =2\{2^{a-1}(2^a+1)+1\}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$A=(a,2^{a-1}),B=(0,2^{a-1}(2^a+1)),C=(1,2^{a-2}(2^a+1))\mathrm{.}$$座標の行列式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2[ABC]}& {\displaystyle =\mid \mid \begin{array}{cc}-a& 2^{2a-1}\\ 1-a& 2^{a-2}(2^a-1)\end{array}\mid \mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{a-2}\{a(2^a+1)-2^{a+1}\}\mathrm{.}}\end{array}$$$a\geqq 2$ では波括弧内は非負であるから$$[ABC]=2^{a-3}\{a(2^a+1)-2^{a+1}\}\mathrm{.}$$