東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $x=\alpha$ を方程式に代入すると $${\alpha }^3+n{\alpha }^2+n^2\alpha =p$$ である。左辺をくくると $$\alpha ({\alpha }^2+n\alpha +n^2)=p$$ である。$p$ は素数で，$\alpha$ は正の整数だから $$\alpha =1\text{または}\alpha =p$$ である。

もし $\alpha =p$ なら，上の式を $p$ で割って $p^2+np+n^2=1$ となる。しかし左辺を $n$ について見ると $n^2+pn+p^2$ であり，この式が1になるには $n^2+pn+p^2-1=0$ が整数解をもたなければならない。この二次方程式の判別式は $p^2-4(p^2-1)=4-3p^2$ である。$p\geqq 2$ なので $4-3p^2<0$ となり，実数解すら存在しない。したがって $\alpha =p$ は不可能である。

よって $\alpha =1$ である。

(2)
(1)より $x=1$ は解である。したがって $1+n+n^2=p$ すなわち $p=n^2+n+1$ である。方程式を $x-1$ で割ると $$x^3+n{x}^2+n^{2}x-p=(x-1)\{x^2+(n+1)x+p\}$$ となる。

係数は実数なので，$k+\sqrt{2}i$ が解なら $k-\sqrt{2}i$ も解である。この2つは残りの二次方程式 $x^2+(n+1)x+p=0$ の解である。解の和と積を比べると $2k=-(n+1)$ であり，$k^2+2=p$ である。前者から $$k=-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}$$ なので，後者は $${\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{4}}+2=n^2+n+1$$ となる。両辺を4倍して整理すると $(n+1{)}^2+8=4n^2+4n+4$ すなわち $3n^2+2n-5=0$ である。因数分解して $(3n+5)(n-1)=0$ である。$n$ は整数なので，可能なのは $n=1$ だけである。このとき $p=n^2+n+1=3$ である。実際に $p=3$ は素数であり，条件を満たす。

よって求める値は $p=3$ である。