東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{p}{q}}$$とおく。ただし $p,q$ は互いに素な自然数である。条件 $a<b<a^2$ から$$1<{\displaystyle \frac{p}{q}}<2.$$また$$b^q=a^p\mathrm{.}$$素因数分解の一意性と $(p,q)=1$ より、ある整数 $d>1$ を用いて$$a=d^q,b=d^p$$と書ける。

$q=1$ なら $1<p<2$ を満たす整数 $p$ はない。したがって $q\geqq 2$ である。また $a^2<100$ より $a\leqq 9$ だから、$d^q\leqq 9$ となる候補だけを調べればよい。$$\begin{array}{cccc}d& q& q<p<2q& b=d^p\\ 2& 2& p=3& 8\\ 2& 3& p=4,5& 16,32\\ 3& 2& p=3& 27\end{array}$$したがって$$(a,b)=(4,8),(8,16),(8,32),(9,27)\mathrm{.}$$いずれも元の大小関係を満たし、$${\log }_{4}8={\displaystyle \frac{3}{2}},{\log }_{8}16={\displaystyle \frac{4}{3}},{\log }_{8}32={\displaystyle \frac{5}{3}},{\log }_{9}27={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。

$a,b$ の各素因数の指数を並べる。${\log }_{a}b=p\mathrm{/}q$ が有理数なら指数ベクトルが $p\mathrm{/}q$ 倍になるので、分母 $q$ は $a$ の全指数の最大公約数を割る。この条件で $2\leqq a\leqq 9$ を直接分類する。

整数 $a$ の素因数分解を$$a=r_1^{{\alpha }_1}{r}_2^{{\alpha }_2}\cdots r_s^{{\alpha }_s}$$とする。${\log }_{a}b=p\mathrm{/}q$ を既約分数とすれば $b^q=a^p$ だから、$b$ における $r_i$ の指数を ${\beta }_i$ として$$q{\beta }_i=p{\alpha }_i$$がすべての $i$ で成り立つ。よって $q$ は全ての ${\alpha }_i$ を割る。

$a^2<100$ より$$2\leqq a\leqq 9.$$$a=2,3,5,6,7$ では素因数の指数の最大公約数が1なので $q=1$ となる。しかし $1<p\mathrm{/}q<2$ に反する。残る候補を調べる。$$\begin{array}{ccc}a& 1<p\mathrm{/}q<2& b=a^{p\mathrm{/}q}\\ 4=2^2& p\mathrm{/}q=3\mathrm{/}2& 8\\ 8=2^3& p\mathrm{/}q=4\mathrm{/}3,5\mathrm{/}3& 16,32\\ 9=3^2& p\mathrm{/}q=3\mathrm{/}2& 27\end{array}$$したがって求める組は$$(4,8),(8,16),(8,32),(9,27)$$である。