東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$C={\int }_0^1\{f(t){\}}^{2}dt$$とおく。この $C$ は $x$ によらない定数である。与式は $f(x)=ax+C$ を意味するので、条件を満たす関数があるならば必ずこの形である。

この形を $C$ の定義に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle ={\int }_0^1(at+C{)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1(a^2{t}^2+2aCt+C^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{3}}+aC+C^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $C$ は $$C^2+(a-1)C+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}=0$$ を満たす。

逆に、この2次方程式の実数解 $C$ が1つ決まれば、$f(x)=ax+C$ は与式を満たす。よって、関数 $f(x)$ がただ1つしか存在しないことは、この2次方程式が実数解をちょうど1つもつことと同値である。したがって判別式が0であればよい。 $$(a-1{)}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{3}}=0$$ より $3(a-1{)}^2-4a^2=0$ すなわち $a^2+6a-3=0$ である。これを解くと $a=-3\pm 2\sqrt{3}$ であり、$a>0$ だから $a=2\sqrt{3}-3$ である。

このとき $C$ は重解であり、$$C=-{\displaystyle \frac{a-1}{2}}={\displaystyle \frac{1-a}{2}}={\displaystyle \frac{1-(2\sqrt{3}-3)}{2}}=2-\sqrt{3}$$ である。したがって求める関数は $$f(x)=(2\sqrt{3}-3)x+2-\sqrt{3}$$ である。

未知関数は傾き $a$ の直線に限られる。切片を横軸、積分から得る値を縦軸にとり、固定点がただ1つとなる接する条件で処理する。

$$C={\int }_0^1\{f(t){\}}^{2}dt$$とおけば $f(x)=ax+C$ である。逆にこの形を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle ={\int }_0^1(at+C{)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{3}}+aC+C^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、直線 $y=C$ と放物線$$y=C^2+aC+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}$$の交点の横座標が、可能な切片 $C$ である。ただ1つの関数が存在するためには両グラフが接すればよいから$$C^2+(a-1)C+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}=0$$が重解をもつ。よって$$(a-1{)}^2-{\displaystyle \frac{4a^2}{3}}=0.$$$a>0$ より$$a=2\sqrt{3}-3.$$接点の横座標は$$C={\displaystyle \frac{1-a}{2}}=2-\sqrt{3}$$なので$$f(x)=(2\sqrt{3}-3)x+2-\sqrt{3}\mathrm{.}$$