東北大 2008年度理系（後期）数学第5問（整数）｜問題・解答・解説

方針

領域内の整数点を $x$ 座標ごとに数える。 $x^{2} ≦ n$ を満たす整数 $x$ は $- m_{n}$ から $m_{n}$ までで，その各 $x$ に対して整数 $y$ は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ の範囲にある。和を取って $a_{n}$ を表し，極限では $m_{n} ≦ \sqrt{n} < m_{n} + 1$ から $m_{n} / \sqrt{n} \to 1$ を使って各因子を評価する。

解答

(1)
曲線 $C : y = x^{2} - n$ と $x$ 軸で囲まれる領域は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ で表される。整数点が存在するには，まず $x^{2} ≦ n$ でなければならない。 $m_{n}$ は $\sqrt{n}$ を超えない最大の整数であるから，整数 $x$ の範囲は $- m_{n} ≦ x ≦ m_{n}$ である。このような $x$ を1つ固定すると，整数 $y$ は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ を満たす。下端と上端を含むので，その個数は $0 - (x^{2} - n) + 1 = n - x^{2} + 1$ である。

したがって $a_{n} = \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} (n - x^{2} + 1)$ である。これを整理すると $a_{n} = (2 m_{n} + 1) (n + 1) - \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} x^{2}$ であり， $\sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} x^{2} = 2 \sum_{j = 1}^{m_{n}} j^{2} = 2 \cdot \frac{m_{n} (m_{n} + 1) (2 m_{n} + 1)}{6} = \frac{m_{n} (m_{n} + 1) (2 m_{n} + 1)}{3}$ だから $a_{n} = (2 m_{n} + 1) (n + 1) - \frac{m_{n} (m_{n} + 1) (2 m_{n} + 1)}{3}$ である。

(2) $m_{n} ≦ \sqrt{n} < m_{n} + 1$ より $1 - \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{m_{n}}{\sqrt{n}} ≦ 1$ である。したがって $\frac{m_{n}}{\sqrt{n}} \to 1$ である。

(1) の式を $n^{3 / 2}$ で割ると $\frac{a_{n}}{n^{3 / 2}} = \frac{(2 m_{n} + 1) (n + 1)}{n^{3 / 2}} - \frac{m_{n} (m_{n} + 1) (2 m_{n} + 1)}{3 n^{3 / 2}}$ である。第1項は $\frac{2 m_{n} + 1}{\sqrt{n}} (1 + \frac{1}{n}) \to 2$ である。第2項は $\frac{1}{3} \cdot \frac{m_{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{m_{n} + 1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{2 m_{n} + 1}{\sqrt{n}} \to \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}$ である。

よって $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n^{3 / 2}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ である。

別解

解法2（リーマン和）

方針

(1) は各整数 $x$ の上に並ぶ格子点を縦に数える。(2)では $x / \sqrt{n}$ を新しい変数と見て、主項を区間 $[- 1, 1]$ 上の $1 - u^{2}$ のリーマン和にする。

解答

(1) $m_{n} = ⌊ \sqrt{n} ⌋$ とする。整数 $x$ を固定すると、領域内の整数 $y$ は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ を満たすので $n - x^{2} + 1$ 個ある。よって $a_{n} = \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} (n - x^{2} + 1) = (2 m_{n} + 1) (n + 1) - \frac{m_{n} (m_{n} + 1) (2 m_{n} + 1)}{3} .$ (2) $\frac{a_{n}}{n^{3 / 2}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} {1 - {(\frac{x}{\sqrt{n}})}^{2}} + \frac{2 m_{n} + 1}{n^{3 / 2}} .$ 最初の和は、刻み幅 $1 / \sqrt{n}$ 、区間が $[- m_{n} / \sqrt{n}, m_{n} / \sqrt{n}]$ のリーマン和である。 $m_{n} / \sqrt{n} \to 1$ だから $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} {1 - {(\frac{x}{\sqrt{n}})}^{2}} ⟶ \int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) d u = \frac{4}{3} .$ また $0 ≦ \frac{2 m_{n} + 1}{n^{3 / 2}} ≦ \frac{2 \sqrt{n} + 1}{n^{3 / 2}} ⟶ 0.$ したがって $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n^{3 / 2}} = \frac{4}{3} .$

総評

難度は10段階中5、計算量は10段階中5。試験場での目安は20分で、格子点を縦に数えて極限へつなぐ問題である。採点点は、 $x$ の範囲を $- m_{n} ≦ x ≦ m_{n}$ とすること、各 $x$ に対して $y$ の個数が $n - x^{2} + 1$ であること、極限で $m_{n} / \sqrt{n} \to 1$ を因子ごとに使うことにある。端点を含むため $+ 1$ が入る点を忘れないようにしたい。

出典: 東北大学 2008年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2008年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問